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初中数学人教八下期末测试（2）
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期末测试（2）
一、选择题
1．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，3
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数y=2x﹣5的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
6．如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．19 D．21
7．某市一周的日最高气温如图所示，则该市这周的日最高气温的众数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
8．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1=y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．不能确定
9． 2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：
队员1
队员2
队员3
队员4
平均数（秒）
51
50
51
50
方差s2（秒2）
3.5
3.5
14.5
15.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
11．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
12．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是 ．
14．函数中，自变量x的取值范围是 ．
15．计算= ．
16．矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为 ．
17．如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x= ．
三、解答题
18．当x=时，求x2﹣x+1的值．
19．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
20．已知：如图，点E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级(1)班40名学生读书册数的情况如表：
读书册数
4
5
6
7
8
人数（人）
6
4
10
12
8
根据表中的数据，求：
(1)该班学生读书册数的平均数；
(2)该班学生读书册数的中位数．
22．世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美国、英国等国家的天气预报使用华氏温度（℉）．两种计量之间有如表对应：
摄氏温度x（℃）
…
0
5
10
15
20
25
…
华氏温度y（℉）
…
32
41
50
59
68
77
…
已知华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当华氏温度﹣4℉时，求其所对应的摄氏温度．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
24．已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求甲车离出发地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)它们出发小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离y乙（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
答案
1．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】选择题．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．
【解答】解：由有意义，
则满足3m﹣1≥0，解得m≥，
即m≥时，二次根式有意义．
则m能取的最小整数值是m=1．
故选B．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，3
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】选择题．
【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+（）2=3=（）2，故是直角三角形，故错误；
B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；
C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；
D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．
故选D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】选择题．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、=4；
C、=；
D、=2；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
4．函数y=2x﹣5的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据一次函数的性质解答．
【解答】解：在y=2x﹣5中，
∵k=2＞0，b=﹣5＜0，
∴函数过第一、三、四象限，
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，能根据k和b的值确定函数所过象限是解题的关键．
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
【考点】矩形的性质．
【专题】选择题．
【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD=4，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=4；
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6．如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．19 D．21
【考点】勾股定理；正方形的性质．
【专题】选择题．
【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．
【解答】解：∵AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，
∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=25，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE
=AB2﹣×AE×BE
=25﹣×3×4=19．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．
7．某市一周的日最高气温如图所示，则该市这周的日最高气温的众数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【考点】众数；折线统计图．
【专题】选择题．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
【解答】解：由图形可知，25出现了3次，次数最多，所以众数是25．
故选A．
【点评】本题考查了众数的概念，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
8．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1=y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．不能确定
【考点】一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，由﹣3＜2，结合一次函数y=﹣x﹣1在定义域内是单调递减函数，判断出y1，y2的大小关系即可．
【解答】解：∵P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，且﹣3＜2，
∴y1＞y2．
故选C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握．
9． 2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：
队员1
队员2
队员3
队员4
平均数（秒）
51
50
51
50
方差s2（秒2）
3.5
3.5
14.5
15.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4
【考点】方差；加权平均数．
【专题】选择题．
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定．
故选B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】平行四边形的性质．
【专题】选择题．
【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，
∴OA===8，
∴AE=2OA=16；
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．
11．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【专题】选择题．
【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AO=OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AO=OC，
∵AM=BM，
∴BC=2MO=2×5cm=10cm，
即AB=BC=CD=AD=10cm，
即菱形ABCD的周长为40cm，
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，能根据菱形的性质得出AO=OC是解此题的关键．
12．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．
【解答】解：∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，
∴k＜0；故①正确
∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴，
∴a＜0；
当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，
∴y1＞y2，故②③错误．
故选B．
【点评】本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．
13．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是 ．
【考点】算术平均数．
【专题】填空题．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3，x4，x5的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．
【解答】解：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，有（x1+x2+x3+x4+x5）=2，
那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是（3x1﹣2+3x2﹣2+3x3﹣2+3x4﹣2+3x5﹣2）=4．
故答案为4．
【点评】本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式：．
14．函数中，自变量x的取值范围是 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】填空题．
【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．计算= ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】填空题．
【分析】根据二次根式的加减法运算法则，先将各个二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式合并．
【解答】解：原式==3．
【点评】二次根式的加减法运算一般可以分三步进行：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式．
16．矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据折叠的性质得到CG=AD=4，GF=DF=CD﹣CF，∠G=90°，根据勾股定理求出FC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可得：CG=AD=4，GF=DF=CD﹣CF，∠G=90°，
则△CFG为直角三角形，
在Rt△CFG中，FC2=CG2+FG2，即FC2=42+（8﹣FC）2，
解得：FC=5，
∴△CEF的面积=×FC×BC=10，
△BCE的面积=△CGF的面积=×FG×GC=6，
则着色部分的面积为：10+6+6=22，
故答案为：22．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
17．如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x= ．
【考点】一次函数与一元一次方程．
【专题】填空题．
【分析】方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标．
【解答】解：由图知：直线y=kx+b与x轴交于点（﹣4，0），
即当x=﹣4时，y=kx+b=0；
因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=﹣4．
故答案为：﹣4
【点评】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答．
18．当x=时，求x2﹣x+1的值．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】解答题．
【分析】先根据x=，整理成x=+1，再把要求的式子进行配方，然后把x的值代入，即可得出答案．
【解答】解：∵x=
∴x=+1，
∴x2﹣x+1=（x﹣）2+=（+1﹣）2+=3．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
19．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
【考点】勾股定理的应用；方向角．
【专题】解答题．
【分析】先根据题意得出OA及OB的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△OAB的形状，进而可得出结论．
【解答】解：如图.
由题意可知，OA=16+16×=24（海里），OB=12+12×=18（海里），AB=30海里，
∵242+182=302，即OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，
∵∠AOD=40°，
∴∠BOD=90°﹣40°=50°，即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出△AOB是直角三角形是解答此题的关键．
20．已知：如图，点E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】解答题．
【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE=∠1，而∠1=∠2，于是∠DAE=∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠2，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出AE∥CF是解题的关键．
21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级(1)班40名学生读书册数的情况如表：
读书册数
4
5
6
7
8
人数（人）
6
4
10
12
8
根据表中的数据，求：
(1)该班学生读书册数的平均数；
(2)该班学生读书册数的中位数．
【考点】中位数；加权平均数．
【专题】解答题．
【分析】(1)根据平均数=，求出该班同学读书册数的平均数；
(2)将图表中的数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的概念求解即可．
【解答】解：(1)该班学生读书册数的平均数为：=6.3（册），
答：该班学生读书册数的平均数为6.3册．
(2)将该班学生读书册数按照从小到大的顺序排列，
由图表可知第20名和第21名学生的读书册数分别是6册和7册，
故该班学生读书册数的中位数为：=6.5（册）．
答：该班学生读书册数的中位数为6.5册．
【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，解答本题的关键在于熟练掌握求解平均数的公式和中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
22．世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美国、英国等国家的天气预报使用华氏温度（℉）．两种计量之间有如表对应：
摄氏温度x（℃）
…
0
5
10
15
20
25
…
华氏温度y（℉）
…
32
41
50
59
68
77
…
已知华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当华氏温度﹣4℉时，求其所对应的摄氏温度．
【考点】用待定系数法求一次函数的解析式．
【专题】解答题．
【分析】(1)设y=kx+b，利用图中的两个点，建立方程组，解之即可；
(2)令y=﹣4，求出x的值，再比较即可．
【解答】解：(1)设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0）．
由题意，得
解得
∴一次函数的表达式为y=1.8x+32．
(2)当y=﹣4时，代入得﹣4=1.8x+32，解得x=﹣20．
∴华氏温度﹣4℉所对应的摄氏温度是﹣20℃．
【点评】本题考查一次函数的应用，只需仔细分析表中的数据，利用待定系数法即可解决问题．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】解答题．
【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．
(2)解直角三角形求出BC=2．AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．
【解答】(1)证明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC=AC，OD=BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
(2)解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，
∴BC=2，
∴AB=DC=2，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF=BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S菱形OCED=×OE×CD=×2×2=2．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
24．已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求甲车离出发地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)它们出发小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离y乙（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
【考点】函数图象的实际应用．
【专题】解答题．
【分析】(1)由图知，该函数关系在不同的时间里表现成不同的关系，需分段表达．当行驶时间小于3时是正比例函数；当行使时间大于3小时小于小时是一次函数．可根据待定系数法列方程，求函数关系式．
(2)4.5小时大于3小时，代入一次函数关系式，计算出乙车在用了小时行使的距离．从图象可看出求乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间是正比例函数关系，用待定系数法可求解．
(3)两者相向而行，相遇时甲、乙两车行使的距离之和为300千米，列出方程解答，由题意有两次相遇．
【解答】解：(1)当0≤x≤3时，是正比例函数，设为y=kx，
x=3时，y=300，代入解得k=100，所以y=100x；
当3＜x≤时，是一次函数，设为y=kx+b，
代入两点（3，300）、（，0），得
解得，
所以y=540﹣80x．
综合以上得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式 为：y=．
(2)当x=时，y甲=540﹣80×=180；
乙车过点（，180），y乙=40x．（0≤x≤）
(3)由题意有两次相遇．
①当0≤x≤3，100x+40x=300，解得x=；
②当3＜x≤时，（540﹣80x）+40x=300，解得x=6．
综上所述，两车第一次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．此题中需注意的是相向而行时相遇的问题．
期末测试（2）
一、选择题
1．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，3
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数y=2x﹣5的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
6．如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．19 D．21
7．某市一周的日最高气温如图所示，则该市这周的日最高气温的众数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
8．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1=y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．不能确定
9． 2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：
队员1
队员2
队员3
队员4
平均数（秒）
51
50
51
50
方差s2（秒2）
3.5
3.5
14.5
15.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
11．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
12．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是 ．
14．函数中，自变量x的取值范围是 ．
15．计算= ．
16．矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为 ．
17．如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x= ．
三、解答题
18．当x=时，求x2﹣x+1的值．
19．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
20．已知：如图，点E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级(1)班40名学生读书册数的情况如表：
读书册数
4
5
6
7
8
人数（人）
6
4
10
12
8
根据表中的数据，求：
(1)该班学生读书册数的平均数；
(2)该班学生读书册数的中位数．
22．世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美国、英国等国家的天气预报使用华氏温度（℉）．两种计量之间有如表对应：
摄氏温度x（℃）
…
0
5
10
15
20
25
…
华氏温度y（℉）
…
32
41
50
59
68
77
…
已知华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当华氏温度﹣4℉时，求其所对应的摄氏温度．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
24．已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求甲车离出发地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)它们出发小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离y乙（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
答案
1．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】选择题．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．
【解答】解：由有意义，
则满足3m﹣1≥0，解得m≥，
即m≥时，二次根式有意义．
则m能取的最小整数值是m=1．
故选B．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，3
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】选择题．
【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+（）2=3=（）2，故是直角三角形，故错误；
B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；
C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；
D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．
故选D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】选择题．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、=4；
C、=；
D、=2；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
4．函数y=2x﹣5的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据一次函数的性质解答．
【解答】解：在y=2x﹣5中，
∵k=2＞0，b=﹣5＜0，
∴函数过第一、三、四象限，
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，能根据k和b的值确定函数所过象限是解题的关键．
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
【考点】矩形的性质．
【专题】选择题．
【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD=4，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=4；
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6．如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．19 D．21
【考点】勾股定理；正方形的性质．
【专题】选择题．
【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．
【解答】解：∵AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，
∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=25，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE
=AB2﹣×AE×BE
=25﹣×3×4=19．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．
7．某市一周的日最高气温如图所示，则该市这周的日最高气温的众数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【考点】众数；折线统计图．
【专题】选择题．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
【解答】解：由图形可知，25出现了3次，次数最多，所以众数是25．
故选A．
【点评】本题考查了众数的概念，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
8．已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1=y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．不能确定
【考点】一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，由﹣3＜2，结合一次函数y=﹣x﹣1在定义域内是单调递减函数，判断出y1，y2的大小关系即可．
【解答】解：∵P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，且﹣3＜2，
∴y1＞y2．
故选C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握．
9． 2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：
队员1
队员2
队员3
队员4
平均数（秒）
51
50
51
50
方差s2（秒2）
3.5
3.5
14.5
15.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4
【考点】方差；加权平均数．
【专题】选择题．
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定．
故选B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】平行四边形的性质．
【专题】选择题．
【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，
∴OA===8，
∴AE=2OA=16；
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．
11．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【专题】选择题．
【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AO=OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AO=OC，
∵AM=BM，
∴BC=2MO=2×5cm=10cm，
即AB=BC=CD=AD=10cm，
即菱形ABCD的周长为40cm，
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，能根据菱形的性质得出AO=OC是解此题的关键．
12．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】一次函数的性质．
【专题】选择题．
【分析】根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．
【解答】解：∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，
∴k＜0；故①正确
∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴，
∴a＜0；
当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，
∴y1＞y2，故②③错误．
故选B．
【点评】本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．
13．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是 ．
【考点】算术平均数．
【专题】填空题．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3，x4，x5的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．
【解答】解：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，有（x1+x2+x3+x4+x5）=2，
那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是（3x1﹣2+3x2﹣2+3x3﹣2+3x4﹣2+3x5﹣2）=4．
故答案为4．
【点评】本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式：．
14．函数中，自变量x的取值范围是 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】填空题．
【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．计算= ．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】填空题．
【分析】根据二次根式的加减法运算法则，先将各个二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式合并．
【解答】解：原式==3．
【点评】二次根式的加减法运算一般可以分三步进行：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式．
16．矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】填空题．
【分析】根据折叠的性质得到CG=AD=4，GF=DF=CD﹣CF，∠G=90°，根据勾股定理求出FC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可得：CG=AD=4，GF=DF=CD﹣CF，∠G=90°，
则△CFG为直角三角形，
在Rt△CFG中，FC2=CG2+FG2，即FC2=42+（8﹣FC）2，
解得：FC=5，
∴△CEF的面积=×FC×BC=10，
△BCE的面积=△CGF的面积=×FG×GC=6，
则着色部分的面积为：10+6+6=22，
故答案为：22．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
17．如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x= ．
【考点】一次函数与一元一次方程．
【专题】填空题．
【分析】方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标．
【解答】解：由图知：直线y=kx+b与x轴交于点（﹣4，0），
即当x=﹣4时，y=kx+b=0；
因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=﹣4．
故答案为：﹣4
【点评】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答．
18．当x=时，求x2﹣x+1的值．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】解答题．
【分析】先根据x=，整理成x=+1，再把要求的式子进行配方，然后把x的值代入，即可得出答案．
【解答】解：∵x=
∴x=+1，
∴x2﹣x+1=（x﹣）2+=（+1﹣）2+=3．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
19．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
【考点】勾股定理的应用；方向角．
【专题】解答题．
【分析】先根据题意得出OA及OB的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△OAB的形状，进而可得出结论．
【解答】解：如图.
由题意可知，OA=16+16×=24（海里），OB=12+12×=18（海里），AB=30海里，
∵242+182=302，即OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，
∵∠AOD=40°，
∴∠BOD=90°﹣40°=50°，即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出△AOB是直角三角形是解答此题的关键．
20．已知：如图，点E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．
求证：AE=CF．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】解答题．
【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE=∠1，而∠1=∠2，于是∠DAE=∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠2，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出AE∥CF是解题的关键．
21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级(1)班40名学生读书册数的情况如表：
读书册数
4
5
6
7
8
人数（人）
6
4
10
12
8
根据表中的数据，求：
(1)该班学生读书册数的平均数；
(2)该班学生读书册数的中位数．
【考点】中位数；加权平均数．
【专题】解答题．
【分析】(1)根据平均数=，求出该班同学读书册数的平均数；
(2)将图表中的数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的概念求解即可．
【解答】解：(1)该班学生读书册数的平均数为：=6.3（册），
答：该班学生读书册数的平均数为6.3册．
(2)将该班学生读书册数按照从小到大的顺序排列，
由图表可知第20名和第21名学生的读书册数分别是6册和7册，
故该班学生读书册数的中位数为：=6.5（册）．
答：该班学生读书册数的中位数为6.5册．
【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，解答本题的关键在于熟练掌握求解平均数的公式和中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
22．世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美国、英国等国家的天气预报使用华氏温度（℉）．两种计量之间有如表对应：
摄氏温度x（℃）
…
0
5
10
15
20
25
…
华氏温度y（℉）
…
32
41
50
59
68
77
…
已知华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当华氏温度﹣4℉时，求其所对应的摄氏温度．
【考点】用待定系数法求一次函数的解析式．
【专题】解答题．
【分析】(1)设y=kx+b，利用图中的两个点，建立方程组，解之即可；
(2)令y=﹣4，求出x的值，再比较即可．
【解答】解：(1)设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0）．
由题意，得
解得
∴一次函数的表达式为y=1.8x+32．
(2)当y=﹣4时，代入得﹣4=1.8x+32，解得x=﹣20．
∴华氏温度﹣4℉所对应的摄氏温度是﹣20℃．
【点评】本题考查一次函数的应用，只需仔细分析表中的数据，利用待定系数法即可解决问题．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】解答题．
【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．
(2)解直角三角形求出BC=2．AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．
【解答】(1)证明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC=AC，OD=BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
(2)解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，
∴BC=2，
∴AB=DC=2，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF=BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S菱形OCED=×OE×CD=×2×2=2．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
24．已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求甲车离出发地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)它们出发小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离y乙（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．
【考点】函数图象的实际应用．
【专题】解答题．
【分析】(1)由图知，该函数关系在不同的时间里表现成不同的关系，需分段表达．当行驶时间小于3时是正比例函数；当行使时间大于3小时小于小时是一次函数．可根据待定系数法列方程，求函数关系式．
(2)4.5小时大于3小时，代入一次函数关系式，计算出乙车在用了小时行使的距离．从图象可看出求乙车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间是正比例函数关系，用待定系数法可求解．
(3)两者相向而行，相遇时甲、乙两车行使的距离之和为300千米，列出方程解答，由题意有两次相遇．
【解答】解：(1)当0≤x≤3时，是正比例函数，设为y=kx，
x=3时，y=300，代入解得k=100，所以y=100x；
当3＜x≤时，是一次函数，设为y=kx+b，
代入两点（3，300）、（，0），得
解得，
所以y=540﹣80x．
综合以上得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式 为：y=．
(2)当x=时，y甲=540﹣80×=180；
乙车过点（，180），y乙=40x．（0≤x≤）
(3)由题意有两次相遇．
①当0≤x≤3，100x+40x=300，解得x=；
②当3＜x≤时，（540﹣80x）+40x=300，解得x=6．
综上所述，两车第一次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．此题中需注意的是相向而行时相遇的问题．
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