数学22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质评优课课件ppt

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二次函数y=ax2+k的图像和性质
这个函数的图象是如何画出来呢？
3. 能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、顶点.
1. 会画二次函数y=ax2+k的图象.
2. 理解抛物线y=ax²与抛物线 y=ax²+k之间的联系.
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.
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8 3 0 -1 0 3 8
二次函数y=ax2+k图象的画法
【思考】抛物线y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
再描点、连线，画出这两个函数的图象：
【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？
开口方向：向上对称轴：x=0顶点坐标：（0，k）最值：当x=0时，有最小值，y=k增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大.
二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质
2.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：
根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________(6) 函数的增减性都相同： ____________________________________________________
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
注意：k带前面的符号！
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
例2 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析 由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
二次函数y=ax2+k的性质的应用
抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小.
(x, )
(x, )
(x, )
二次函数y=ax2+k的图象及平移
观察图象可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当k > 0 时,向上平移 个单位长度得到.当k < 0 时,向下平移 个单位长度得到.
上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 (　　 )A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．
1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，分两步即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax的图象向上（或向下）平移︱k ︱单位.
第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 ．
1.抛物线 y=2x2 向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点 (-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）， 则a=____.3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：k正向上；k负向下.
二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0) 的图象有何关系？
答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0) 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移 个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移 个单位长度得到.
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2. 理解抛物线y=ax2 与抛物线 y=a(x-h)2的联系.
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
根据所画图象，填写下表：
【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＞0）的性质是什么？
当x=0时，y最小值=0
当x=2时，y最小值=0
当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小
二次函数y=a(x-h)2（a＞0）的图象性质
【试一试】画出二次函数 的图象，并说出它们的开口方向、对称轴和顶点．
函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质（结合图象）
【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质是什么？
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象性质
当x=h时，y最小值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x=h时，y最大值=0
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
利用函数的性质比较函数值的大小时，首先确定函数的对称轴，然后判断所给点与对称轴的位置关系，若同侧，直接比较大小；若异侧，先依对称性转化到同侧，再比较大小.
1.已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时，y随x的增大而增大，当x>-3时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值是（ ） A.-1 B.-9 C.1 D.9
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
可以看作互相平移得到.
左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变.
当向左平移 ︱h︱ 个单位时
当向右平移 ︱h︱个单位 时
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，因此平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
二次函数平移性质的应用
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
解析 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．
已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　 ）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
1. 把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .2. 二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，顶点是________.3. 若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
y1 ＞y2 ＞ y3
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
在直角坐标系中画出函数y＝ (x-3)2的图象．(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)说明该函数图象与二次函数y＝ x2的图象的关系；(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）.（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.
探索y=a(x-h)2的图象及性质
a>0,开口向上a<0,开口向下
平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
二次函数y=a（x-h）2 +k的图象和性质
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.
顶点在x轴上（h，0）
顶点 在y轴上(0,k)
【思考】 顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
例1 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．
利用二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象
在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（ ）
向左平移一个单位，再向下平移一个单位
二次函数y= a(x-h)2+k的图象与平移
y=a(x-h)2+k
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？
一般地,抛物线y=a(x－h) ²＋k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h) ²＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=a(x－h) 2+k
y=a(x－h)2+k
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
抛物线y=a(x－h)2+k的特点
可以看作互相平移得到的.
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.
解:如图,建立平面直角坐标系,
设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得B（9, 0），C（8, 1.7）.
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得
∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
1.抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　 ）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为 _____________ .
答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.
y=5(x+1)2+3
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2），设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m
解析：由图可以知道，小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，设为a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5），点在抛物线上，即：3.5= a2+3.5，整理得：a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5（舍去），故a=1.5，因此AB=4.
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位