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2020届二轮复习 高考解题的数学思想 教案
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数学思想方法选讲
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1) “以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2) “以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因此在高考中占有非常重要的地位．
数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，如点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1) 实数与数轴上点的对应；(2) 函数与图象的对应；(3) 曲线与方程的对应；(4) 以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，如复数、三角、空间点的坐标等．
数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程．
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．(3)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(4)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(5)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(6)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能达到事半功倍的效果．
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，按照一定标准进行讨论，把研究的对象分为几部分或几种情况，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。作出总结的思想方法。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．
在解答某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论。讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．
(7)分类讨论解题的步骤
①确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．
②对所讨论的对象进行合理的分类．
③逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．
④归纳总结：将各类情况总结归纳．
化归与转化思想:解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化.
例1（2018•四川南充模拟）已知定义在R上的单调递增奇函数f（x），若当0≤θ≤时，f（cosθ+msinθ）+f（﹣2m﹣2）＜0恒成立，则实数m的取值范围是
【分析】：根据函数的单调性和奇偶性将不等式进行转化，分离参数，确定其范围，即可得到结论．
【答案】（﹣，+∞）
【名师点评】函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．
变式训练1：
（2018•上海二模）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为_____。
【答案】[1，）．
∴要使方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，
则函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为[1，）．
故答案为：[1，）．
例2 （2018•普陀区一模）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【分析】把方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根转化为函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．
【答案】B
【解析】：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，
得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），
去掉端点后关于（2，3）中心对称．
又∵y==3+关于（2，3）中心对称，
故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．
【点评】利用函数的图像讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂的方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时候适当变形转化为熟悉的两个函数），然后在同一坐标系中画出两个函数的图像。图像的交点个数即为方程的解的个数。
变式训练题2：
（2018•渭滨区高三期末）已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1，x2，且 0＜x1＜1＜x2，则的取值范围是（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C． D．
【答案】D
【解析】：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，
故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上，
又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，
代入方程可得：
其对应的平面区域如下图阴影示：表示阴影区域上一点与原点边线的斜率，由图可知，故选：D．
例3（2018•东北三省四市二模）已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（ ）
A．9 B．15 C．18 D．30
【思路分析】利用等差数列的通项公式可得an．及其数列{an}的前n项和Sn．令an≥0，解得n，分类讨论即可得出．
【答案】C
【名师点评】有些数学概念本身就是分类形式的定义，有些数学概念自身就有一定的限制，解题时要以所定义的概念为依据进行讨论，如遇到分段函数需要讨论；根据绝对值的定义去绝对值需要讨论；指数、对数中含有参数a需要讨论，另外数学中的有些公式、方法对于一般情形是正确的，但是对于特殊情形或比较隐蔽的个别情形未必成立，这是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论，常见的个别情况是：集合的性质，中的互异性需要讨论；等比数列的求和公式中对公比q是否为1的讨论；方程对a是否为0的讨论等。
变式训练题3：
若等比数列{an}的前项n和为Sn，且则=___。
【答案】17
变式训练题4：
已知：长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AD=4，AA1=4，O为对角线AC1的中点，过O的直线与长方体表面交于两点M，N，P为长方体表面上的动点，则的取值范围是______
【答案】[﹣8，8]．
【解析】：如图所示．∵O为对角线AC1的中点，∴O（1，2，2）．
以下分类讨论：根据长方体的对称性和数量积的性质：取P点时只要取顶点和每个表面的中心即可．
①当点MN在上下两个面时．
取P（0，0，0），设N（x，y，0），（0≤x≤2，0≤y≤4）．
则M（2﹣x，4﹣y，4）．∴=x（2﹣x）+y（4﹣y）=﹣[（x﹣1）2+（y﹣2）2]+5，
此时可得：的取值范围是[0，5]．
取点P（1，0，2），=（1﹣x，4﹣y，﹣2），=（x﹣1，y，﹣2），则=﹣（x﹣1）2+y（4﹣y）﹣4=﹣[（x﹣1）2+（y﹣2）2]，
由于0≤x≤2，0≤y≤4，∴﹣5≤≤0．
此时可得：的取值范围是[﹣5，0]．
综上可得：的取值范围是[﹣5，5]．
②当点MN在左右两个面时，的取值范围是[﹣5，5]．
③当点MN分别上或下两个面、左或右时，的取值范围是[﹣8，8]．综上可得：的取值范围是[﹣8，8]．
例4（1） （2018•黑龙江哈尔滨高三模拟）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为____。
【答案】4
【点评】：本题考查了正弦、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．主要基本不等式的灵活应用求最值。
（2）（2018•甘肃一模）若关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）=ax3+（m+）x2﹣cx在区间（t，3）上总不是单调函数，m的取什值范围是（ ）
A．﹣＜m＜﹣3 B．﹣3＜m＜﹣1 C．﹣＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜0
【分析】：先由根与系数的关系求出a、c的值，再求出f（x）的导数f′（x），利用f′（x）在（2，3）上有零点，f′（2）f′（3）＜0，求出m的取值范围．
【答案】
【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了导数的应用以及转化思想的应用问题，是综合性题目．
变式训练题5：
（2018•南京三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为
【答案】[﹣，+∞）．
【解析】：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离d+2≥3，所以+2≥3，所以k≥﹣．故答案为：[﹣，+∞）．
变式训练题4：
（2018•河北衡水四模）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2 是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2 的取值范围为
【答案】（，+∞）．
创新训练题：
1．（2018•潍坊一模）若函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=loga（|x|﹣1）的图象可以是（ ）
A． B． C． D． [来源:Z+xx+k.Com]
【答案】：D
【解析】由函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，
故0＜a＜1．函数y=loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为x＞1或x＜﹣1，
函数y=loga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y=logax的图象向右平移1个单位得到的，
故选：D．
2. 已知当x=1时，函数f（x）=2sin（ωx+）（0＜ω＜π）有最大值，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）
的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】：C
3. （2017•浙江模拟）若实数x，y满足，则点P（x，y）不可能落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】：D
【解析】实数x，y满足，作出如图所示的可行域，
由图象可知，则点P（x，y）不可能落在第四象限，
故选：D
4. （2018•宁城县一模）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（ ）
A．2﹣ B．1 C． D．2
【答案】：C
5. （2018•合肥二模）已知函数f（x）是定义在R上的增函效，f（x）+2＞f′（x），f（0）=1，则不等式ln[f（x）+2]﹣ln3＞x的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【答案】：A
【解析】根据题意，设g（x）=，其导数g′（x）
==，
又由f（x）+2＞f′（x），则有g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，
f（0）=1，则g（0）==3，
又由函数f（x）是定义在R上的增函效，则有f（x）+2＞f′（x）＞0，即f（x）+2＞0在R上恒成立；则ln[f（x）+2]﹣ln3＞x⇒ln＞x⇒＞ex⇒＞3⇒g（x）＞g（0），
又由g（x）为减函数，则有x＜0，则不等式的解集为（﹣∞，0）；故选：A．
6. 已知函数f（x）=﹣2x3﹣x，又α，β为锐角三角形两锐角，则（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＜f（cosβ） C．f（sinα）＞f（sinβ） D．f（cosα）＞f（cosβ）
【分析】根据题意，求出f（x）的导数，分析可得函数f（x）在R上为减函数，由α，β为锐角三角形两锐角，则α+β＞，变形可得α＞﹣β，结合正弦函数的性质可得sinα＞sin（﹣β）=cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．
【答案】B
7. （2018•西宁二模）已知定义在R上的函数y=f（x）满足函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf'（x）＜0成立（f'（x）是函数f（x）的导数），若
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】A
【解析】∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，
∴y=f（x）关于y轴对称，
∴函数g（x）=xf（x）为奇函数．
∵g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），
∴当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＜0，
函数g（x）=xf（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，函数g（x）=xf（x）单调递减，
a=g（），b=g（ln2），c=g（2），
而＜ln2＜2，
故a＞b＞c，
故选：A．
8（2018•雅安模拟）在直角梯形ABCD，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动（如图所示）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣μ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）
∵﹣90°≤α≤90°，
∴﹣135°≤α﹣45°≤45°，
∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤，
∴﹣≤sin（α﹣45°）≤1
∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣，1]．
故选：A．
二\填空题
9. （2018•铁东区校级一模）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）= ．
【分析】由奇函数的定义可得f（﹣2）=﹣f（2），代入x＞0的解析式，计算即可得到所求值．
【答案】：﹣．
10.（2018春•龙岩期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，
则f（x）的解析式是 ．
【分析】由图象可知A=2，可求周期T，利用周期公式可求ω，从而可求f（x）=2sin（2x+φ），代入点（，
2），结合范围|φ|＜，可求φ，即可得解解析式．
【答案】：f（x）=2sin（2x﹣）．
11. 已知四边形ABCD的对角线相交于一点，，，则的最小值是
【分析】取A（0，0），则，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，由此能求出的最小值．
【答案】-2
【解析】：∵四边形ABCD的对角线相交于一点，，，
∴取A（0，0），则，
12. （2018•天津）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是 ．
【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【答案】[，2]
【解析】：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，
要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，
则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，
即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，
当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，
由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，
得a≥，
综上≤a≤2，
故答案为：[，2]．
三．解答题
13. 已知f（x）=ex﹣alnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=﹣1时，若不等式f（x）＞e+m（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．
（2）由f（x）=ex﹣alnx，原不等式即为ex+lnx﹣e﹣m（x﹣1）＞0，记F（x）=ex+lnx﹣e﹣m（x﹣1），通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值，转化求解m的范围即可．
求导得，当x＞1时，F''（x）＞0，
则F'（x）在（1，+∞）上单调递增，有F'（x）＞F'（1）=ex+1﹣m，[来源:Zxxk.Com]
若m≤e+1，则F'（x）＞0，若F（x）在（1，+∞）上单调递增，且F（x）＞F（1）=0，适合题意；[来源:学科网]
若m＞e+1，则F'（1）＜0，又，故存在x1∈（1，lnm）使F'（x）=0，
当1＜x＜x1时，F'（x）＜0，得F（x）在（1，x1）上单调递减，在F（x）＜F（1）=0，舍去，
综上，实数m的取值范围是m≤e+1．
14.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．
（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；[来源:学科网]
（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．
【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；
（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．
（2）由，得a=2．又，得．
∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，
•=（x0，y0）（，）=+=x02+，
由于，的取值范围是[，2]
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；
1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，
得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；
有①
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；
整理得：②
将①式代入②式得：3+4k2=2m2，
3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，
又点O到直线y=kx+m的距离，
丨AB丨==×=×，
∴
2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）
联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，
解得m2=2，从而，
S△OAB=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，
综上：△OAB的面积是定值．
15.某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．
羊毛颜色
每匹需要/kg
供应量/kg
布料A
布料B
红
3
3
1050
绿
4
2
1200
黄
2
6
1800
已知生产每匹布料A、B的利润分别为60元、40元．分别用x、y表示每月生产布料A、B的匹数．
（Ⅰ）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．
【分析】（Ⅰ）根据条件建立不等式关系，利用二元一次不等式组表示平面区域进行作图即可．
（Ⅱ）求出目标函数，利用线性规划的知识进行求解．
【解析】：（Ⅰ）设每月生产布料A、B分别为x匹、y匹，利润为Z元，
则，对应的可行域如图：
16某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；
（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），
利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．
【解析】：（1）S矩形ABCD=（40sinθ+10）•80cosθ
=800（4sinθcosθ+cosθ），
S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）
=1600（cosθ﹣cosθsinθ），
当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；
当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，
∴sinθ的取值范围是[，1）；
令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；
当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；
当sinθ∈（，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；
∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．
S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），
S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），
sinθ∈[，1）；
答：θ=时总产值y最大．
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1) “以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2) “以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因此在高考中占有非常重要的地位．
数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，如点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1) 实数与数轴上点的对应；(2) 函数与图象的对应；(3) 曲线与方程的对应；(4) 以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，如复数、三角、空间点的坐标等．
数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程．
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．(3)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(4)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(5)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(6)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能达到事半功倍的效果．
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，按照一定标准进行讨论，把研究的对象分为几部分或几种情况，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。作出总结的思想方法。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．
在解答某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论。讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．
(7)分类讨论解题的步骤
①确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．
②对所讨论的对象进行合理的分类．
③逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．
④归纳总结：将各类情况总结归纳．
化归与转化思想:解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化.
例1（2018•四川南充模拟）已知定义在R上的单调递增奇函数f（x），若当0≤θ≤时，f（cosθ+msinθ）+f（﹣2m﹣2）＜0恒成立，则实数m的取值范围是
【分析】：根据函数的单调性和奇偶性将不等式进行转化，分离参数，确定其范围，即可得到结论．
【答案】（﹣，+∞）
【名师点评】函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．
变式训练1：
（2018•上海二模）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为_____。
【答案】[1，）．
∴要使方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，
则函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为[1，）．
故答案为：[1，）．
例2 （2018•普陀区一模）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【分析】把方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根转化为函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．
【答案】B
【解析】：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，
得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），
去掉端点后关于（2，3）中心对称．
又∵y==3+关于（2，3）中心对称，
故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．
【点评】利用函数的图像讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂的方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时候适当变形转化为熟悉的两个函数），然后在同一坐标系中画出两个函数的图像。图像的交点个数即为方程的解的个数。
变式训练题2：
（2018•渭滨区高三期末）已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1，x2，且 0＜x1＜1＜x2，则的取值范围是（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C． D．
【答案】D
【解析】：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，
故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上，
又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，
代入方程可得：
其对应的平面区域如下图阴影示：表示阴影区域上一点与原点边线的斜率，由图可知，故选：D．
例3（2018•东北三省四市二模）已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（ ）
A．9 B．15 C．18 D．30
【思路分析】利用等差数列的通项公式可得an．及其数列{an}的前n项和Sn．令an≥0，解得n，分类讨论即可得出．
【答案】C
【名师点评】有些数学概念本身就是分类形式的定义，有些数学概念自身就有一定的限制，解题时要以所定义的概念为依据进行讨论，如遇到分段函数需要讨论；根据绝对值的定义去绝对值需要讨论；指数、对数中含有参数a需要讨论，另外数学中的有些公式、方法对于一般情形是正确的，但是对于特殊情形或比较隐蔽的个别情形未必成立，这是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论，常见的个别情况是：集合的性质，中的互异性需要讨论；等比数列的求和公式中对公比q是否为1的讨论；方程对a是否为0的讨论等。
变式训练题3：
若等比数列{an}的前项n和为Sn，且则=___。
【答案】17
变式训练题4：
已知：长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AD=4，AA1=4，O为对角线AC1的中点，过O的直线与长方体表面交于两点M，N，P为长方体表面上的动点，则的取值范围是______
【答案】[﹣8，8]．
【解析】：如图所示．∵O为对角线AC1的中点，∴O（1，2，2）．
以下分类讨论：根据长方体的对称性和数量积的性质：取P点时只要取顶点和每个表面的中心即可．
①当点MN在上下两个面时．
取P（0，0，0），设N（x，y，0），（0≤x≤2，0≤y≤4）．
则M（2﹣x，4﹣y，4）．∴=x（2﹣x）+y（4﹣y）=﹣[（x﹣1）2+（y﹣2）2]+5，
此时可得：的取值范围是[0，5]．
取点P（1，0，2），=（1﹣x，4﹣y，﹣2），=（x﹣1，y，﹣2），则=﹣（x﹣1）2+y（4﹣y）﹣4=﹣[（x﹣1）2+（y﹣2）2]，
由于0≤x≤2，0≤y≤4，∴﹣5≤≤0．
此时可得：的取值范围是[﹣5，0]．
综上可得：的取值范围是[﹣5，5]．
②当点MN在左右两个面时，的取值范围是[﹣5，5]．
③当点MN分别上或下两个面、左或右时，的取值范围是[﹣8，8]．综上可得：的取值范围是[﹣8，8]．
例4（1） （2018•黑龙江哈尔滨高三模拟）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为____。
【答案】4
【点评】：本题考查了正弦、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．主要基本不等式的灵活应用求最值。
（2）（2018•甘肃一模）若关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）=ax3+（m+）x2﹣cx在区间（t，3）上总不是单调函数，m的取什值范围是（ ）
A．﹣＜m＜﹣3 B．﹣3＜m＜﹣1 C．﹣＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜0
【分析】：先由根与系数的关系求出a、c的值，再求出f（x）的导数f′（x），利用f′（x）在（2，3）上有零点，f′（2）f′（3）＜0，求出m的取值范围．
【答案】
【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了导数的应用以及转化思想的应用问题，是综合性题目．
变式训练题5：
（2018•南京三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为
【答案】[﹣，+∞）．
【解析】：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离d+2≥3，所以+2≥3，所以k≥﹣．故答案为：[﹣，+∞）．
变式训练题4：
（2018•河北衡水四模）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2 是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2 的取值范围为
【答案】（，+∞）．
创新训练题：
1．（2018•潍坊一模）若函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=loga（|x|﹣1）的图象可以是（ ）
A． B． C． D． [来源:Z+xx+k.Com]
【答案】：D
【解析】由函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，
故0＜a＜1．函数y=loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为x＞1或x＜﹣1，
函数y=loga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y=logax的图象向右平移1个单位得到的，
故选：D．
2. 已知当x=1时，函数f（x）=2sin（ωx+）（0＜ω＜π）有最大值，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）
的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】：C
3. （2017•浙江模拟）若实数x，y满足，则点P（x，y）不可能落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】：D
【解析】实数x，y满足，作出如图所示的可行域，
由图象可知，则点P（x，y）不可能落在第四象限，
故选：D
4. （2018•宁城县一模）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（ ）
A．2﹣ B．1 C． D．2
【答案】：C
5. （2018•合肥二模）已知函数f（x）是定义在R上的增函效，f（x）+2＞f′（x），f（0）=1，则不等式ln[f（x）+2]﹣ln3＞x的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【答案】：A
【解析】根据题意，设g（x）=，其导数g′（x）
==，
又由f（x）+2＞f′（x），则有g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，
f（0）=1，则g（0）==3，
又由函数f（x）是定义在R上的增函效，则有f（x）+2＞f′（x）＞0，即f（x）+2＞0在R上恒成立；则ln[f（x）+2]﹣ln3＞x⇒ln＞x⇒＞ex⇒＞3⇒g（x）＞g（0），
又由g（x）为减函数，则有x＜0，则不等式的解集为（﹣∞，0）；故选：A．
6. 已知函数f（x）=﹣2x3﹣x，又α，β为锐角三角形两锐角，则（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＜f（cosβ） C．f（sinα）＞f（sinβ） D．f（cosα）＞f（cosβ）
【分析】根据题意，求出f（x）的导数，分析可得函数f（x）在R上为减函数，由α，β为锐角三角形两锐角，则α+β＞，变形可得α＞﹣β，结合正弦函数的性质可得sinα＞sin（﹣β）=cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．
【答案】B
7. （2018•西宁二模）已知定义在R上的函数y=f（x）满足函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf'（x）＜0成立（f'（x）是函数f（x）的导数），若
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】A
【解析】∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，
∴y=f（x）关于y轴对称，
∴函数g（x）=xf（x）为奇函数．
∵g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），
∴当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＜0，
函数g（x）=xf（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，函数g（x）=xf（x）单调递减，
a=g（），b=g（ln2），c=g（2），
而＜ln2＜2，
故a＞b＞c，
故选：A．
8（2018•雅安模拟）在直角梯形ABCD，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动（如图所示）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣μ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）
∵﹣90°≤α≤90°，
∴﹣135°≤α﹣45°≤45°，
∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤，
∴﹣≤sin（α﹣45°）≤1
∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣，1]．
故选：A．
二\填空题
9. （2018•铁东区校级一模）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）= ．
【分析】由奇函数的定义可得f（﹣2）=﹣f（2），代入x＞0的解析式，计算即可得到所求值．
【答案】：﹣．
10.（2018春•龙岩期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，
则f（x）的解析式是 ．
【分析】由图象可知A=2，可求周期T，利用周期公式可求ω，从而可求f（x）=2sin（2x+φ），代入点（，
2），结合范围|φ|＜，可求φ，即可得解解析式．
【答案】：f（x）=2sin（2x﹣）．
11. 已知四边形ABCD的对角线相交于一点，，，则的最小值是
【分析】取A（0，0），则，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，由此能求出的最小值．
【答案】-2
【解析】：∵四边形ABCD的对角线相交于一点，，，
∴取A（0，0），则，
12. （2018•天津）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是 ．
【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【答案】[，2]
【解析】：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，
要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，
则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，
即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，
当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，
由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，
得a≥，
综上≤a≤2，
故答案为：[，2]．
三．解答题
13. 已知f（x）=ex﹣alnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=﹣1时，若不等式f（x）＞e+m（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．
（2）由f（x）=ex﹣alnx，原不等式即为ex+lnx﹣e﹣m（x﹣1）＞0，记F（x）=ex+lnx﹣e﹣m（x﹣1），通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值，转化求解m的范围即可．
求导得，当x＞1时，F''（x）＞0，
则F'（x）在（1，+∞）上单调递增，有F'（x）＞F'（1）=ex+1﹣m，[来源:Zxxk.Com]
若m≤e+1，则F'（x）＞0，若F（x）在（1，+∞）上单调递增，且F（x）＞F（1）=0，适合题意；[来源:学科网]
若m＞e+1，则F'（1）＜0，又，故存在x1∈（1，lnm）使F'（x）=0，
当1＜x＜x1时，F'（x）＜0，得F（x）在（1，x1）上单调递减，在F（x）＜F（1）=0，舍去，
综上，实数m的取值范围是m≤e+1．
14.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为．
（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；[来源:学科网]
（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．
【分析】（1）由，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得的取值范围；
（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k2=2m2，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．
（2）由，得a=2．又，得．
∵点M（x0，y0）在椭圆上，，，且，
•=（x0，y0）（，）=+=x02+，
由于，的取值范围是[，2]
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则；
1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由，
得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0；
有①
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；
整理得：②
将①式代入②式得：3+4k2=2m2，
3+4k2＞0，则m2＞0，△=48m2＞0，
又点O到直线y=kx+m的距离，
丨AB丨==×=×，
∴
2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）
联立椭圆方程得；代入3x1x2+4y1y2=0，得，
解得m2=2，从而，
S△OAB=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=，
综上：△OAB的面积是定值．
15.某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．
羊毛颜色
每匹需要/kg
供应量/kg
布料A
布料B
红
3
3
1050
绿
4
2
1200
黄
2
6
1800
已知生产每匹布料A、B的利润分别为60元、40元．分别用x、y表示每月生产布料A、B的匹数．
（Ⅰ）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．
【分析】（Ⅰ）根据条件建立不等式关系，利用二元一次不等式组表示平面区域进行作图即可．
（Ⅱ）求出目标函数，利用线性规划的知识进行求解．
【解析】：（Ⅰ）设每月生产布料A、B分别为x匹、y匹，利润为Z元，
则，对应的可行域如图：
16某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；
（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），
利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．
【解析】：（1）S矩形ABCD=（40sinθ+10）•80cosθ
=800（4sinθcosθ+cosθ），
S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）
=1600（cosθ﹣cosθsinθ），
当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；
当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，
∴sinθ的取值范围是[，1）；
令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；
当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；
当sinθ∈（，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；
∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．
S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），
S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），
sinθ∈[，1）；
答：θ=时总产值y最大．
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