2020届二轮复习 正弦、余弦定理及解三角形 教案（全国通用）
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例1. 在中，已知下列条件，解三角形.
（1）, , ；
（2），，.
【思路点拨】画出示意图（1）正弦定理的运用；（2）余弦定理的运用.
【解析】
（1）∵，
法一：∵， ∴或，
①当时，，；
②当时，（舍去）.
法二：∵，∴，即，
∴，，.
（2）∵
∴
法一：∵
∴，
法二：∵
又∵，即
∴，有，
∴，.
【总结升华】
①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；
②解三角形时，要留意三角形内角和为180°，同一个三角形中大边对大角等性质的应用.
举一反三：
【变式1】在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c.
【解析】由正弦定理得，，
∴sin A＝.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝.
【变式2】在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．
A． B．
C. D．
【答案】C
【解析】由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得：，即∴c＝.
【高清课堂：正、余弦定理及解三角形401223 例1】
【变式3】 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，则BC＝( )
A. B. C． D.
【答案】A
【解析】∵， ∴,
∴，
由余弦定理有
∴，从而BC＝.
例2. 在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】将等式左边正切化为正弦、余弦形式，右边运用正弦定理将边化为角的形式，化简再判断.也可以直接将等式左边化为边的形式判断.
【解析】方法一：化边为角
由题意得 ，化简整理得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π ∴A=B或，
∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．
方法二：化角为边
由已知得结合正、余弦定理得，
整理得 ∴
即三角形为等腰三角形或直角三角形
【总结升华】依据正、余弦定理定理的结构特点，若在式子中出现的为与边相关的一次式，则一般多用正弦定理，；若在式子中出现的为与边相关的二次式，则一般多用余弦定理.
举一反三：
【变式1】在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】解法一：由已知结合正、余弦定理得
，整理得a2=b2，∴a=b，∴△ABC一定是等腰三角形.
解法二：∵，
∴由已知得sinAcosB―cosAsinB=0，即sin（A―B）=0。
又A―B∈（－π，π），∴A－B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形.
【变式2】在中，若b=asinC,c=acosB，试判断的形状．
【答案】为等腰直角三角形
【解析】由b=asinC可知 ，
由c=acosB可知整理得，即三角形一定是直角三角形，∠A=，∴sinC=sinB∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰直角三角形．
类型二、解三角形及其综合应用
例3. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且c=1。
（1）求tanA；
（2）求△ABC的面积.
【思路点拨】（1）利用两角和的正切公式表示出，由三角形的内角和定理及诱导公式得到的值；（2）由的值求得角A是一个特殊角，再由的值得到B和C的范围及大小关系，分别算出，的值，利用正弦定理可求得a的值，最后利用三角形面积公式可求出面积.
【解析】（1）因为，，，
代入得到。
因为A=180°―B―C，
所以。
（2）0°＜A＜180°，由（1）结论可得：A=135°.
因为，所以0°＜C＜B＜90°.
所以，.
由得，
所以△ABC的面积为.
【总结升华】有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，然后应用三角函数的有关概念及公式进行恒等变换，从而达到解题的目的.
举一反三：
【变式1】在中，，，求,.
【解析】
由余弦定理得：
∴
由正弦定理得：
∵ ，∴.
【高清课堂：正、余弦定理及解三角形401223 例4】
【变式2】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知
(I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
【答案】(I) (Ⅱ)
例4. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D点需要多少时间？
【思路点拨】在△DAB中，由正弦定理得，由此可求得；然后在△DAB中，由余弦定理可求得CD；最后根据时间=路程\速度，即可求得该救援船到达D点需要的时间. 准确找出题目中的方向角是解题的关键之处.
【解析】由题意知（海里），
∠DBA=90°－60°=30°，∠DAB=90°－45°=45°，
∴∠ADB=180°－(45°+30°)=105°，
在△DAB中，由正弦定理得，
∴
（海里）.
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°－60°)=60°，海里，在△DBC中，由余弦定理得
，
∴CD=30（海里），则需要的时间（小时）.
【总结升华】对图形进行有效的分析，便于使用正弦、余弦定理.
举一反三：
【变式1】如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
【解析】如图，连结，
∵，，
∴是等边三角形，，
在中，由余弦定理得:
，
∴
因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行海里.
【变式2】如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．a km B．km C． km D．2a km
【答案】B
【解析】利用余弦定理解△ABC. 易知∠ACB=120°，在△ABC中，由余弦定理得
，
∴km.
