2020届二轮复习函数的最值与值域（理）学案（全国通用）
展开函数的最值与值域
【考纲要求】
1. 会求一些简单函数的定义域和值域；
2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；
3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．
4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、函数最值的定义
1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值．
注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．
如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值．
2.最小值的定义同学们自己给出．
考点二、函数最值的常用求法
1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．
2.判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值．
3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．
4.不等式法：利用均值不等式求最值．
5.利用函数的性质求函数的最值
6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法
7.利用导数求函数的最值。
要点诠释：
(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；
(2)一些能转化为最值问题的问题:
在区间D上恒成立函数
在区间D上恒成立函数
在区间D上存在实数使函数
在区间D上存在实数使函数
【典型例题】
类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值
例1.求函数的最值．
【解析】
令（注意的范围），这样所求函数就变为二次函数．
【总结升华】当式子中同时出现和时，都可以化为二次式．
举一反三：
【变式】求函数的值域．
【解析】平方再开方，得
类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值
例2. 求下列函数值域：
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)y=x2-2x+3； 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].
【解析】(1)2个单位，
再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2)；
(2)画出草图
1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；
2).
举一反三：
【变式】已知函数.
(1)判断函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.
【解析】(1)
上单调递增，在上单调递增；
(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增
∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2
x=3时f(x)有最大值
∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.
类型三、含参类函数的最值与值域问题
例3（2017 北京高考）设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【解析】如图先作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，
①当时，，因此的最大值是；
②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：，．
.
举一反三：
【变式】（2014 甘肃一模）若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数，在上为减函数
当时，的最小值为;
又，当且仅当时等号成立
所以函数在区间上为增函数
可得时，的最大值为.
因为不等式在上恒成立
所以即可得的取值范围是.
类型四、抽象函数的最值与值域问题
例4.若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令，则，
举一反三：
【变式】设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴.
类型五：解析几何在最值方面的综合应用
例5．设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）
A．{9，10，11} B．{9，10，12} C．{9，11，12} D．{10，11，12}
【解析】当t≠0时，直线AD的方程为，
分别与直线y=1，y=2，y=3交于点，。
同理直线BC的方程为分别与直线y=1，y=2，y3交于点
，，。
此时当时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，
故此时N（t）=12；
当时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD内部的线段上各有4个整点，
而直线y=3在平行四边形ABCD内部的线段上只有3个整点，
此时N（t）=11。
同理可得当时，N（t）=12；
当时，N（t）=11。
综上得 ，其中k∈Z）。
故选C。
【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD为正方形，不含边界的整点个数为9个。
【变式2】设直线x=t与函数，的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D 如图，，令，
∵，∴易知时，；
时，。
于是可判断当时，|MN|取得小值。
