2020届二轮复习数列应用题的解法教案（全国通用）

【例1】某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：

而一旦植完，则不会被沙化.

问：（1）每年沙化的亩数为多少？（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？

（2） 设2005年及其以后各年的造林亩数分别为、、、…，则

【点评】（1）利用等差数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等差数列；（2）利用等差数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公差和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题.

【反馈检测1】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.

请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.

【例2】商院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为院建一栋可容纳一千人的生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．

　　（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；

　　（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：，＝1.4774）

【解析】 依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．

　　（1）设公寓投入使用后年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．

　　依题意有　…．

　　化简得．

　　∴　．

　　两边取对数整理得．∴　取＝12（年）．

　　∴　到2014年底可全部还清贷款．

【点评】（1）银行的单利问题和复利问题，要理解清楚.单利是一个等差数列问题，复利是一个等比数列问题.（2）利用等比数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等比数列；（3）利用等比数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公比和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题. #

【反馈检测2】为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：

    汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：
    (1)汪先生家每月应还款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?
    (参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)

【例3】2008年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2009年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.

⑴设该县的总面积为1,2008年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示；

⑵求数列的第项；

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:)

⑵.

数列是公比为,首项的等比数列.

∴.

⑶

【点评】（1）构造数列关键是从已知条件入手找到数列的递推关系；（2）构造数列的首项和末项要弄清.

【反馈检测3】某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．

（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？

（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？

高中数常见题型解法归纳及反馈检测第42讲：

数列应用题的解法参考答案

【反馈检测1答案】（1）3年后开始盈利；（2）采用方案一合算.

【反馈检测2答案】（1）汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元；（2）当月共还款43880.12元．#

【反馈检测2详细解析】设月利率为，每月还款数为元，总贷款数为元，还款期限为月
　　第1月末欠款数：
　　第2月末欠款数：　

    第3月末欠款数：

　　……
第月末欠款数　  得： 

对于12年期的10万元贷款，4.455‰∴
对于15年期的15万元贷款，，＝5.025‰
∴
由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．
(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
　　　其中＝150000，＝1268.22，＝5.025‰

 ∴＝41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．

【反馈检测3答案】（1）对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%；（2）2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．

由题可知：，

所以，当时，，两式作差得：

又，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．

所以，  由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．

（Ⅱ）令，得，

由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求．

验证可知：当时，均有，而当时，，

由指数函数的单调性可知：当时，均有．

所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．