2020届二轮复习数列求和的方法教案（全国通用）
展开【例1】已知等比数列{}中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.
(1)求；(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）依题意有，
即,，
即2.∵,∴.
故.
【点评】（1）利用公式法求数列的前项和，一般先求好数列前项和公式的各个基本量，再代入公式.（2）第2问注意要分类讨论，因为与7的大小关系不能确定.
【反馈检测1】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）求数列{}的前项和.
方法二 | 错位相减法 |
使用情景 | 已知数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法. |
解题步骤 | 若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ， 则 两式相减并整理即得. |
【例2】 已知函数 ，是数列的前项和，点（，）（）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）因为 ①
所以 ②
③
②－③得
.
整理得， ④
策略二 利用商值比较法
由④式得.
因为
所以，即. 所以
所以存在最大值.
策略三 利用放缩法
由①式得，又因为是数列的前项和，
所以. 所以
所以存在最大值.
【反馈检测2】数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，
．
（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和；
（3）求证：对且恒有．
方法三 | 分组求和法 |
使用情景 | 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列. |
解题步骤 | 可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. |
【例3】已知数列{}的前项和为，且满足．
（1）证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）数列{}满足，其前项和为，试求满足的最小正整数．
（2）
设 ①
【点评】（1）数列求和时，要分成两个数列求和，其中一个是数列通项是，它用错位相减来求和，另外一个数列是，它是一个等差数列，直接用公式法求和.（2）解不等式时，直接用代值试验解答就可以了.
【反馈检测3】已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
方法四 | 裂项相消法 |
使用情景 | 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等. |
解题步骤 | 把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和. . |
【例4】 已知等差数列满足：，.的前项和为.
（Ⅰ）求 及；（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，所以有
，解得，所以；==.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项.如，
.为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项.
【反馈检测4】 设数列满足，.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
【反馈检测5】已知各项均为正数的数列的前项和为,且().
(Ⅰ) 求的值及数列的通项公式；
(Ⅱ) 记数列的前项和为,求证:().
方法五 | 倒序相加法 |
使用情景 | 如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和. |
解题步骤 | 可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和. |
【例5 】 已知数列的前项和，函数对有，数列满足.
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式
对于一切的恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）
①-②得
即
要使得不等式恒成立,
对于一切的恒成立,
即
令,则
当且仅当时等号成立,故
所以为所求.
【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.
【例6】求证：
【点评】如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可以利用倒序相加法求和.
【反馈检测6】已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.
方法六 | 并项求和法 |
使用情景 | 有些数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论. |
解题步骤 | 一般把项数分成奇数和偶数两种情况分类讨论. . |
【例7】求和：…．
【解析】当为偶数时，
．
当为奇数时，
【点评】（1）如果数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.把两项合成一项来求和. (2)这种情况最好先计算偶数的情况，再计算奇数的情况.讨论奇数情况时，为了减少计算量，提高计算效率，可以利用，而可以利用前面计算出来的偶数的结论（因为是偶数），只要把偶数情况下表达式中所有的都换成即可.
【反馈检测7】已知数列的首项为，前项和，且数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．
高中数常见题型解法归纳及反馈检测第39讲：
数列求和的方法参考答案
【反馈检测1答案】（1）；（2）.
【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）由题设知公差，
由，成等比数列得＝，
解得， 故的通项.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，由等比数列前项和公式得
.
【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）见解析.
（3）
由
知
于是
故当且时为增函数
综上可知 .
（2）由（1）知，故
数列的前项和
【反馈检测4答案】（1）；（2）.
【反馈检测4详细解答】（1）因为，， ①
所以当时，．
当时，， ② ，
①－②得，，所以．
因为，适合上式，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以【反馈检测5答案】（1）， ；（2）见后面解析.
【反馈检测5详细解析】(Ⅰ)当时,,解得或(舍去)．
当时,,,相减得
即,又,所以,则,
所以是首项为,公差为的等差数列,故．
证法二:当时,．
当时,先证,即证显然成立.
所以
所以
, 综上,对任意,均有成立.
【反馈检测6答案】（1）；（2）..
【反馈检测7答案】（1）；（2）
【反馈检测7详细解析】
（1）（1）由已知得， ∴．
当时，．
，∴，．
（2）由⑴可得．
当为偶数时，
，
综上，
