【例1】         如果是一个离散型随机变量，则假命题是（   ）

A．取每一个可能值的概率都是非负数；

B．取所有可能值的概率之和为1；

C．取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；

D．在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

【答案】D；

【例2】         袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（  ）

A．5           B．9           C．10            D．25

【答案】B；

【例3】         在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：

⑴不放回抽样时，抽到次品数的分布列；

⑵放回抽样时，抽到次品数的分布列．

【答案】随机变量可以取0，1，2，也可以取0，1，2，3，

放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析．

⑴，，．

所以的分布列为

⑵，所以的分布列为

【例4】         （河北省正定中学高2018届一模）

随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为（    ）

　 A． B． C． D．

【答案】D；

【例5】         已知随机变量的分布列为，则        ．

【答案】；

【例6】         一袋中装有编号为的个大小相同的球，现从中随机取出个球，以表示取出的最大号码．

⑴ 求的概率分布；⑵ 求的概率．

【答案】⑴ 的可能取值为，从而有：

，，，．

故的概率分布为

⑵ ．

【例7】         （2018广东）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，，……，，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．

⑴ 根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量．

⑵ 在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列；

⑶ 从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．

【答案】⑴ 重量超过克的产品数量是：

 ．

⑵ 的分布列为：

⑶ 设所取的件产品中，重量超过克的产品件数为随机变量，，从而．

即恰有件产品的重量超过克的概率为．

【例8】         某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为；记 第次按下按钮后出现红球的概率为．                                                                                                                                                                                                                                             

⑴求的值；

⑵当时，求用表示的表达式；

⑶求关于的表达式．

【答案】⑴是“第二次按下按钮后出现红球”．

若第一次，第二次均出现红球，则概率为：

第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：．

故所求概率为：．

⑵第次按下按钮出现红球的概率为：，则出现绿球的概率为：

若第次，第次均出现红球，其概率为：．

若第次，第次依次出现绿球，红球，其概率为：．

于是；

⑶由⑵，

引入代定参数，使得．

上式即为，与的表达式对比，因此．

于是．

．

【例9】         以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．

【答案】设女性委员的人数为，则服从参数为的超几何分布，其概率分布为，

期望，方差．

【例10】     设在4次独立重复试验中，事件发生的概率相同，若已知事件至少发生一次的概率等于，求事件在一次试验中发生的概率．

【答案】设所求概率为，为在4次试验中发生的次数，则，依题意

，解出．

【例11】     某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金元．某顾客消费了元，得到3张奖券．

⑴求家具城恰好返还该顾客现金元的概率；

⑵求家具城至少返还该顾客现金元的概率．

【答案】⑴家具城恰好返还给该顾客现金元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖．所求概率为．

⑵设家具城至少返还给该顾客现金元为事件，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件，这位顾客有且只有两张中奖为事件，这位顾客有且只有三张中奖为事件，则，且是互斥事件．

．

也可以用间接法求：．

【例12】     一个口袋中装有个红球（且）和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．

⑴试用表示一次摸奖中奖的概率；

⑵若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；

⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？

【答案】⑴一次摸奖从个球中任选两个，有种，其中两球不同色有种，

一次摸奖中奖的概率．

⑵若，一次摸奖中奖的概率，三次摸奖是独立重复试验，

三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是．

⑶设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为

求导得

不难知道在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．

由，解得．

【例13】     （2018广东高考）

已知随机量服从正态分布，且，则（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B；

【例14】     （2018课标全国卷Ⅰ高考）

某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（  ）

 A．100           B．200           C．300           D．400

【答案】B；

【例15】     （2018上海卷高考）

随机变量的概率分布率由下图给出：

则随机变量的均值是__________；

【答案】；

【例16】     袋中编号为，，，，的五只小球，从中任取只球，以表示取出的球的最大号码，则_________，_________．

【答案】4.5,0.315 ；

【例17】     （2018福建高考）

设是不等式的解集，整数．

⑴ 记使得“成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；

⑵ 设，求的分布列及其数学期望．

【答案】⑴ 由得，即．

由于且，

所以A包含的基本事件为：，，，，．

⑵ 由于的所有不同取值为，，，，，，所以的所有不同取值为，，，，且有，，，．

故的分布列为

所以．

【例18】     （2018江西高考）

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．

⑴ 求的分布列；

⑵ 求的数学期望．

【答案】⑴的所有可能取值为

，，，，所以的分布列为：

⑵ （小时）

【例19】     编号的三位学生随意入座编号为，，的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是．

⑴ 求随机变量的概率分布；

⑵ 求随机变量的数学期望和方差．

【答案】⑴ ，，．

∴随机变量的概率分布为

⑵ ．．

【例20】     有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．

【答案】分析：求时，由题知前次没打开，恰第k次打开．

不过，一般我们应从简单的地方入手，如，发现规律后，推广到一般．

的可能取值为1，2，3，…，n．

；

，……；

；

所以的分布列为：

；

．

【例21】     若与相互独立，则下面选项中不是相互独立事件的是（  ）

A．与        B．与         C．与        D．与

【答案】A；

【例22】     一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第站停车的概率以及在第站不停车的条件下在第站停车的概率，并判断“第站停车”与“第站停车”两个事件是否独立．

【答案】不妨记事件：交通车在第站停车（）

我们考虑事件的对立情形，即所有25名乘客都在其余的8个站下车，

其概率为．于是．

在第站不停车的条件下在第站停车的概率

而，

代入有

【例23】     甲， 乙两人进行乒乓球比赛， 每局甲胜的概率为，。问对甲而言，采用三局二胜制有利， 还是采用五局三胜制有利． 设各局胜负相互独立．

【答案】容易计算得知，

采用三局二胜制，甲的胜率为；

采用五局三胜制，

甲的胜率为

而。

于是采用五局三胜制比较有利。

【例24】     把一枚硬币抛掷两次，事件“第一次出现正面”，事件“第二次出现反面”，

则．

【答案】；

【例25】     设某批产品有是废品，而合格品中的是一等品，任取一件产品是一等品的概率是          ．

【答案】；

【例26】     袋中装有个白球，个黑球，一次取出个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少?

【答案】设A表示“取出个球是同一种颜色”，B表示“个球的颜色是黑色的”，

问题即为求．

，，

因此由公式．

直接求的话就是．

【例27】     从个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于的数，求它是2或3的倍数的概率．

【答案】用A表示“取出的数”，B表示“取出的数是2或3的倍数”，问题即为求．不大于的数中2或3的倍数共有个（表示不超过的最大整数），于是，而，因此由公式．直接求的话就是．

【例28】     设有来自三个地区的各名、名和名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，

⑴求先抽到的一份是女生表的概率．

⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率．

【答案】⑴三个地区的报名表被抽到的概率都是，三个地区的报名表第一个被抽到的是女生的概率分别为，因此先抽到的一份是女生表的概率为：；

⑵设表示“第二次抽到的是男生表”，B表示“第一次抽到的是女生表”，问题即为求．

三个地区“先后抽出的是女生表和男生表”的概率分别为：

．

于是．

类似于⑴．

因此由公式．