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2020届二轮复习直线与圆教案（全国通用）
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2020届二轮复习 直线与圆 教案（全国通用）
1．直线方程
(1)直线的倾斜角与斜率的关系
倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.
倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．
当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．
(2)直线方程
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
不能表示与x轴垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示与x轴垂直的直线
两点式
＝
不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式
＋＝1
不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
适合所有的直线
(3)两直线的位置关系
位置关系
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
k1＝k2，且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0
相交
k1≠k2特别地，l1⊥l2⇒k1k2＝－1
A1B2≠A2B1特别地，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0
(4)距离公式
①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离
|P1P2|＝.
②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝.
2．圆的方程
(1)圆的方程
①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.
②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为，半径r＝.
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d
(3)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
方法位置关系
几何法：根据d＝与r的大小关系
代数法：
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
相交
d
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
(4)圆与圆的位置关系
表现形式
位置关系
几何表现：圆心距d与r1、r2的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
【误区警示】
1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．
2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．
高频考点一 直线及其方程
例1. （2018年北京卷）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.
【变式探究】已知直线： 与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
【变式探究】已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0，1) B.
C. D.
解析 (1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，由得yE＝，又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈.
图① 图②
(2)当直线y＝ax＋b与AC、BC相交时(如图②)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈
(∵0
∴b∈∩，即b∈.故选B.
答案 B
高频考点二 两直线的位置关系
例2、【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3 B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
解析 若△OAB为直角三角形，则A＝90°或B＝90°.
当A＝90°时，有b＝a3；
当B＝90°时，有·＝－1，
得b＝a3＋.
故(b－a3)(b－a3－)＝0，选C.
答案 C
【变式探究】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
高频考点三 圆的方程
例3．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1
【变式探究】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
【变式探究】一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.故圆的标准方程为＋y2＝.
答案 ＋y2＝
高频考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系
例4．（2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线 (为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.
【答案】
【解析】由题意可得圆的标准方程为：，
直线的直角坐标方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得：，
则.
[变式探究]【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．
【变式探究】如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）设
因为，所以……①
因为点Q在圆M上，所以…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆没有公共点，
所以解得.
因此，实数t的取值范围是.
【变式探究】过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8 C．4 D．10
1. （2018年北京卷）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.
2. （2018年全国Ⅲ卷理数）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
3. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
4.（2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线 (为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.
【答案】
【解析】由题意可得圆的标准方程为：，
直线的直角坐标方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得：，
则.
1．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
2.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1
1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
2.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
3.【2016高考新课标3理数】已知直线： 与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
4.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
【解析】（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
5.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）设
因为，所以……①
因为点Q在圆M上，所以…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆没有公共点，
所以解得.
因此，实数t的取值范围是.
1．(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
解析 直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.
故所求圆的标准方程为 (x－1)2＋y2＝2.
答案 (x－1)2＋y2＝2
2．(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．2
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝
＝6，选C.
答案 C
3．(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
∵反射光线与已知圆相切，
∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.
答案 D
1. 【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．
【考点定位】直线与圆相交的弦长问题． 考点定位】本小题主要考查直线方程的基础知识以及数形结合等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
（2013·新课标Ⅱ理）（9）已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=
(A) (B) (C)1 (D)2
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的平面区域如右图所示：
当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以
，解得，故选B.
【 考点定位】本小题考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判断，考查同学们的空间想象与逻辑推理能力等数学基本素养，解答的关键是空间想象力.
（2013·浙江理）13、设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。
【答案】
【解析】此题是线性规划的逆向求解问题，其解法画出不等式组所表示的平面区域后，对目标函数中的进行讨论。此不等式表示的平面区域如下图4所示：，
当时，直线平移到A点时目标函数取最大值，即；当时，直线平移到A或B点时目标函数取最大值，可知k取值是大于零，所以不满足，所以，所以填2；
【 考点定位】本小题主要考查圆的极坐标方程与普通方程之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键.
（2013·天津理）4. 已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆相切.
其中真命题的序号是: （ ）
(A) ①②③ (B) ①②
(C) ①③ (D) ②③
【答案】C
【解析】由球的体积公式可知：①正确；对③,圆心(0,0)到直线x + y + 1 = 0的距离为,等于圆的半径,故正确；而②是错误的，故选C.
【 考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
（2013·陕西理）13. 若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .
【答案】-4。
【解析】作出曲线与所表示的区域，令，即，作直线，在封闭区域内平行移动直线，当经过点时，取到最小值，此时最小值为．解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求的最小值转化为求所表示的直线截距的最大值，通过平移直线即可求解．
【
【 考点定位】本题考查线性规划下的斜率运算，确定可行域是关键，通过绕旋转来确定最小值点.
（2013·江西理）9.过点（，0）引直线ι与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于（ ）
A. B.- C. D-
【答案】B
【解析】画图可知过点（，0）的直线与曲线相切时斜率为-1,所以相交成三角形的直线斜率在（-1,0）之间，故选B.
【考点定位】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查应用能力和计算能力.
（2013·湖南理）11.如图2，在半径为的中,弦
【答案】；
【解析】由相交弦定理可知，，因为
，，即，连接DO，过圆心做CD的垂线交于F，在三角形OFD中
1．直线方程
(1)直线的倾斜角与斜率的关系
倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.
倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．
当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．
(2)直线方程
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
不能表示与x轴垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示与x轴垂直的直线
两点式
＝
不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式
＋＝1
不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
适合所有的直线
(3)两直线的位置关系
位置关系
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
k1＝k2，且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0
相交
k1≠k2特别地，l1⊥l2⇒k1k2＝－1
A1B2≠A2B1特别地，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0
(4)距离公式
①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离
|P1P2|＝.
②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝.
2．圆的方程
(1)圆的方程
①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.
②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为，半径r＝.
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d
(3)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
方法位置关系
几何法：根据d＝与r的大小关系
代数法：
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
相交
d
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
(4)圆与圆的位置关系
表现形式
位置关系
几何表现：圆心距d与r1、r2的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
【误区警示】
1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．
2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．
高频考点一 直线及其方程
例1. （2018年北京卷）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.
【变式探究】已知直线： 与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
【变式探究】已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0，1) B.
C. D.
解析 (1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，由得yE＝，又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈.
图① 图②
(2)当直线y＝ax＋b与AC、BC相交时(如图②)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈
(∵0
∴b∈∩，即b∈.故选B.
答案 B
高频考点二 两直线的位置关系
例2、【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3 B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
解析 若△OAB为直角三角形，则A＝90°或B＝90°.
当A＝90°时，有b＝a3；
当B＝90°时，有·＝－1，
得b＝a3＋.
故(b－a3)(b－a3－)＝0，选C.
答案 C
【变式探究】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
高频考点三 圆的方程
例3．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1
【变式探究】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
【变式探究】一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.故圆的标准方程为＋y2＝.
答案 ＋y2＝
高频考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系
例4．（2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线 (为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.
【答案】
【解析】由题意可得圆的标准方程为：，
直线的直角坐标方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得：，
则.
[变式探究]【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．
【变式探究】如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）设
因为，所以……①
因为点Q在圆M上，所以…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆没有公共点，
所以解得.
因此，实数t的取值范围是.
【变式探究】过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8 C．4 D．10
1. （2018年北京卷）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.
2. （2018年全国Ⅲ卷理数）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
3. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
4.（2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线 (为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.
【答案】
【解析】由题意可得圆的标准方程为：，
直线的直角坐标方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得：，
则.
1．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
2.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1
1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
2.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
3.【2016高考新课标3理数】已知直线： 与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
4.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
【解析】（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
5.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）设
因为，所以……①
因为点Q在圆M上，所以…….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆没有公共点，
所以解得.
因此，实数t的取值范围是.
1．(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
解析 直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.
故所求圆的标准方程为 (x－1)2＋y2＝2.
答案 (x－1)2＋y2＝2
2．(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．2
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝
＝6，选C.
答案 C
3．(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
∵反射光线与已知圆相切，
∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.
答案 D
1. 【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．
【考点定位】直线与圆相交的弦长问题． 考点定位】本小题主要考查直线方程的基础知识以及数形结合等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
（2013·新课标Ⅱ理）（9）已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=
(A) (B) (C)1 (D)2
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的平面区域如右图所示：
当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以
，解得，故选B.
【 考点定位】本小题考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判断，考查同学们的空间想象与逻辑推理能力等数学基本素养，解答的关键是空间想象力.
（2013·浙江理）13、设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。
【答案】
【解析】此题是线性规划的逆向求解问题，其解法画出不等式组所表示的平面区域后，对目标函数中的进行讨论。此不等式表示的平面区域如下图4所示：，
当时，直线平移到A点时目标函数取最大值，即；当时，直线平移到A或B点时目标函数取最大值，可知k取值是大于零，所以不满足，所以，所以填2；
【 考点定位】本小题主要考查圆的极坐标方程与普通方程之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键.
（2013·天津理）4. 已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆相切.
其中真命题的序号是: （ ）
(A) ①②③ (B) ①②
(C) ①③ (D) ②③
【答案】C
【解析】由球的体积公式可知：①正确；对③,圆心(0,0)到直线x + y + 1 = 0的距离为,等于圆的半径,故正确；而②是错误的，故选C.
【 考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
（2013·陕西理）13. 若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .
【答案】-4。
【解析】作出曲线与所表示的区域，令，即，作直线，在封闭区域内平行移动直线，当经过点时，取到最小值，此时最小值为．解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求的最小值转化为求所表示的直线截距的最大值，通过平移直线即可求解．
【
【 考点定位】本题考查线性规划下的斜率运算，确定可行域是关键，通过绕旋转来确定最小值点.
（2013·江西理）9.过点（，0）引直线ι与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于（ ）
A. B.- C. D-
【答案】B
【解析】画图可知过点（，0）的直线与曲线相切时斜率为-1,所以相交成三角形的直线斜率在（-1,0）之间，故选B.
【考点定位】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查应用能力和计算能力.
（2013·湖南理）11.如图2，在半径为的中,弦
【答案】；
【解析】由相交弦定理可知，，因为
，，即，连接DO，过圆心做CD的垂线交于F，在三角形OFD中
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