2020届二轮复习“解析几何”专题提能课课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（十七）  “解析几何”专题提能课

A组——易错清零练

1．(2018·嘉兴模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 　B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A　若l1⊥l2，则a＋a(a＋2)＝0，即a(a＋3)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.

2．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知

△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.故选C.

3．过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有(　　)

A．1条   B．2条

C．3条   D．4条

解析：选B　依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．

②当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，

即y＝kx＋1－2k，

由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，

即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)

若1－4k2＝0，则k＝±，

当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；

当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．

若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．

综上所述，满足题意的直线l共有2条．

4．已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.

解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，

则a2＝4，即a＝2.又e＝＝，

所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝4－()2＝1.

②当椭圆的焦点在y轴上时，

椭圆的方程为＋＝1，则b2＝4，即b＝2.

又e＝＝，故 ＝，解得＝，即a＝2b，

所以a＝4，m＝a2＝16.综上，m＝1或16.

答案：1或16

5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2.

根据两圆外切的条件，得

|MC1|－|AC1|＝|MA|，

|MC2|－|BC2|＝|MB|.

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2<6＝|C1C2|.　

所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大)，

可设轨迹方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，

其中a＝1，c＝3，则b2＝8.

故动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．

答案：x2－＝1(x<0)

B组——方法技巧练

1．已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)

A.   B．3

C.   D．2

解析：选C　抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝.

2．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t，0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(　　)

A．(0,2]   B．[1,2]

C．[2,3]   D．[1,3]

解析：选D　依题意，设点P(＋cos θ，1＋sin θ)，

∵∠APB＝90°，∴·＝0，

∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，

得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，

∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，

∵t＞0，∴t∈[1,3]．

3．(2018·金华、台州、温州三市联考)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则

△PF1Q的周长为(　　)

A.   B．5

C.   D．4

解析：选A　易知双曲线C：－y2＝1中，a＝，b＝1，所以c＝＝2，则F1(－2,0)，F2(2,0)．因为点P的横坐标为2，所以PQ⊥x轴．令x＝2，则y2＝－1＝，则y＝±，即|PF2|＝，则|PF1|＝＝，故△PF1Q的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝，故选A.

4．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C．[2－，2＋]   D.

解析：选A　圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°.

在Rt△PAO中，|PO|＝＝2，

又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)，

∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1，

∵|MO|＝，

∴ －1≤2≤ ＋1，

解得2－≤a≤2＋.

∴实数a的取值范围为.

5．(2018·宁波模拟)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为(　　)

A．2   B．4

C．2   D．2

解析：选A　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，

又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，

故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，

∴A，代入椭圆方程＋＝1，结合b2＝a2－c2及e＝，整理可得，e4－8e2＋4＝0，

∵0<e<1，∴e2＝4－2＝(－1)2，∴e＝－1.

同理可求得双曲线的离心率e1＝＋1，

∴e＋e1＝2.

6．(2018·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，

由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.

kAB＝＝＝.

由得kAB＝＝＝·，则·＝，

∴＝，故＝，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.

答案：y＝±x

C组——创新应用练

1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝＋，则r＝(　　)

A．2   B.

C．2   D.

解析：选B　已知＝＋，

两边平方化简得·＝－r2，

所以cos∠AOB＝－，

所以cos＝，

又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，

所以＝，解得r＝.

2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率e＝∈.

3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.

4．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的一点．△F1PF2中，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程．

解：如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称，由椭圆的光学性质知，F1，P，Q三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.连接OR，因为O为F1F2的中点，R为F2Q的中点，所以|OR|＝|F1Q|＝a.设R(x，y)，则x2＋y2＝a2(y≠0)，故点R的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．

5．(2018·诸暨高三适应性考试)已知F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线C于不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＝－1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O是原点)于D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE中点为G.

①求点D的纵坐标；

②求的取值范围．

解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，

联立

消去y，化简得x2－2pkx－p2＝0，

∴x1x2＝－p2＝－1，∴p＝1，

∴抛物线C的方程为x2＝2y.

(2)①∵直线OA的方程为y＝x＝x，

∴D，即D.

即点D的纵坐标为－.

②∵kDF＝－，∴kAE＝x2，

∴直线AE的方程为y－y1＝x2(x－x1)．

联立

消去y，得－x2x－y1－1＝0，

∴xE＝2x2－x1，∴G(x2,2y2＋y1＋1)，

∴G，B，D三点共线．

∴＝.

∵y1·y2＝，

∴＝2－＝2－＝2－∈(1,2)．

∴∈.