高考数学统考一轮复习第1章1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

【知识重温】

一、必记3个知识点

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的____、____、____叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做________.

3．含有一个量词的命题的否定

二、必明2个易误点

1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．

2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．

【小题热身】

一、判断正误

1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)．

(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)

(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　　)

(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)

(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．(　　)

(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　　)

二、教材改编

2．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x＋x0≤0  B．∃x0∈R，x＋x0<0

C．∀x∈R，x2＋x≤0   D．∀x∈R，x2＋x<0

3．命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是______________________________________________．

三、易错易混

4．[2021·济南模拟]若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则(　　)

A．命题p与命题q都是真命题

B．命题p与命题q都是假命题

C．命题p是真命题，命题q是假命题

D．命题p是假命题，命题q是真命题

5．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是(　　)

A．p∧q  B．(綈p)∧q

C．p∨(綈q)  D．(綈p)∧(綈q)

四、走进高考

6．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是________．

①p1∧p4　②p1∧p2　③(綈p2)∨p3　④(綈p3)∨(綈p4)

　全称命题与特称命题[自主练透型]

1．[2021·开封市高三模拟试卷]已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)

A．∀n∈N，n2>2n  B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n  D．∃n∈N，n2＝2n

2．下列命题中，真命题是(　　)

A．∃x0∈R，sin2＋cos2＝

B．∀x∈(0，π)，sin x>cos x

C．∃x0∈R，x＋x0＝－2

D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1

悟·技法

1．全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

2．全称命题与特称命题真假的判断方法

不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.

考点二　含逻辑连结词命题的真假判断

[自主练透型]

3．[2021·大同市高三学情调研测试试题]已知命题p：∀x∈R，ex＋e－x≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是(　　)

A．p∧q是真命题  B．(綈p)∧(綈q)是真命题

C．p∧(綈q)是真命题  D．(綈p)∧q是真命题

4．[2021·广州市高三年级阶段训练题]已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1<0；命题q：∃x∈R，x2>2x.则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q  B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q)  D．(綈p)∧(綈q)

悟·技法

判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤

(1)判断复合命题的结构；

(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假；

(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可.

考点三　根据命题的真假求参数的取值范围

[互动讲练型]

[例]　[2021·江苏常州调研]若命题“∀x∈R，x2－2mx＋1≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．

悟·技法

根据全(特)称命题的真假求参数的思路

与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.

[变式练]——(着眼于举一反三)

1．命题p：∀x∈R，x2＋ax＋a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,4)  B．[0,4]

C．(－∞，0)∪(4，＋∞)  D．(－∞，0]∪[4，＋∞)

2．[2021·宁夏石嘴山检测]若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

【知识重温】

①且　②或　③非　④真　⑤真　⑥假　⑦假　⑧真　⑨真　⑩假　⑪全称命题　⑫特称命题　⑬∃x0∈M，綈p(x0)　⑭∀x∈M，綈p(x)

【小题热身】

1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

(5)×

2．解析：由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．

答案：B

3．答案：有些表面积相等的三棱锥体积不相等．

4．解析：由“非p”是真命题可知p为假命题，由“p或q”是真命题可知p与q中至少有一个是真命题，结合p为假命题可知q为真命题，故选D.

答案：D

5．解析：p是假命题，q是真命题，所以（綈p）∧q为真命题，故选B.

答案：B

6．解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；

对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而綈p2是真命题；

对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而綈p3是真命题；

对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而綈p4是假命题．

综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，(綈p2)∨p3是真命题，(綈p3)∨(綈p4)是真命题，所以答案为①③④.

答案：①③④

课堂考点突破

考点一

1．解析：因为特称命题的否定是把存在量词改为全称量词，同时否定结论，所以綈p：∀n∈N，n2≤2n，故选C.

答案：C

2．解析：∀x∈R，均有sin2＋cos2＝1，故A是假命题；

当x∈时，sin x≤cos x，故B是假命题；

因为方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，

所以x2＋x＋2＝0无解，

所以∃x0∈R，x＋x0＝－2是假命题，故C是假命题；

令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，

则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，

即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1.

答案：D

考点二

3．解析：因为ex＋e－x＝ex＋≥2成立，所以命题p是真命题；又由2x0＝＝2－1，得x0＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q是假命题．所以p∧(綈q)是真命题，故选C.

答案：C

4．解析：当x＝1时，x2－x＋1＝1>0，所以p为假命题，綈p为真命题．当x＝3时，x2>2x，所以q为真命题，綈q为假命题．所以p∧q为假命题，(綈p)∧q为真命题，p∧(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，故选B.

答案：B

考点三

例　解析：因为命题“∀x∈R，x2－2mx＋1≥0”是真命题，所以Δ＝4m2－4≤0，解得－1≤m≤1，即所求实数m的取值范围为[－1,1]．

答案：[－1,1]

变式练

1．解析：对于∀x∈R，x2＋ax＋a≥0成立是真命题，∴Δ＝a2－4a≤0，即0≤a≤4.故选B.

答案：B

2．解析：因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.

答案：(－∞，－1]