2019届二轮复习数列递推学案（全国通用）

第七讲 递推数列

一、知识方法拓展

由递推公式求数列通项的常用方法

类型1：

方法：累加法(叠加法)，

类型2：

方法：累乘法(迭代法)，

类型3：

方法：待定系数法(构造法)，令，，从而构造一个公比为p的等比数列

类型4：

方法：一般地，将原式转化为，令，则，转化为类型3解决

注：当时，我们还能用如下方法更简便地解题

令，，从而构造一个等比数列

类型5：

方法：一般地，将原式转化为，令，则，转化为类型1解决

注1：当的一次函数时，如我们还能用如下方法更简便地解题

令，，从而构造一个等比数列

注2：当的二次函数时，则可构造等比数列，依次类推

类型6：

方法：特征根法

其特征方程为，

1、   若方程有两相异根、，则

2、若方程有两等根则   其中、可由初始条件确定。

设，则,令   （*）

（1）若方程组（*）有两组不同的解,

则, ,

由等比数列性质可得, ,

由上两式消去可得.

（2）若方程组（*）有两组相等的解，易证此时，则

，

,即是等差数列，

由等差数列性质可知，

所以．

类型7：

方法：函数不动点法，方程的根称为该数列的不动点，若数列有两个相异的不动点t,s，则为等比数列，若数列只有一个不动点，则是等差数列。

(1)若,由,

,

两式相除有,从而得,再解出即可.

(2)若,由，，

，从而得

二、热身练习

1.(2012复旦)设，则数列的极限为（  ）

A.    B.   C.  D.

分析与解：一方面，我们可以用特征根法，，故而可得s,t均为有理数。再观察数列前三项及选项，可快速得到只有A选项符合题意。

2. (2007复旦)已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数n是（  ）

A.6  B.7  C.8  D.9

分析与解：由，采用待定系数法，设

成等比数列，故

进一步可得

又，选B

3. (2006复旦)是正数列，其前项和为，满足：对一切，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（   ）

A.0  B.4  C.12  D.100

分析与解：由题意得，又，两式相减得，因为是正数列，所以，选B

三、真题精讲

例1. (2011卓越)设数列满足

（1）设，证明：若，则是等比数列

（2）若，求的值

分析与解：（1）根据提示化简原式得是公比为，首项为的等比数列

（2）当时，易得为常值数列，，极限不存在，不合题意

当时，由（1）知，用累加法可得

由

例2. (2004复旦)已知数列，满足又，求：

（1）

（2）

分析与解：（1）观察已知条件为，融合后的递推公式，考虑消元转化为只含有一个数列的递推公式再求解。

由，代入得

相邻三项型的递推数列，用特征根法求解

又

（2）由（1）易得

例3. (模拟题)斐波那契数列可以由递推公式：确定，求斐波那契数列的通项公式

分析与解：典型的相邻三项型通项公式，用特征根法可以快速得到答案

又

例4. (2010武大)设为平面上的点列，其中数列，满足

，已知的坐标为

（1）确定点所在圆C的方程

（2）证明：点列在定圆C上

（3）求数列的通项公式

分析与解：（1）直接代入得，用求中垂线交点法或代入圆的一般方程都可简单求得圆方程

（2）考虑用数学归纳法来证明，由（1）知在圆C上，假设在圆C上，即

得证

（3）由（2）知

用不动点法，由是公比为9的等比数列

例5. (模拟题)已知数列满足，求通项

分析与解：分式型递推公式，考虑用不动点法解题

由

两式相除，得

由已知易得，

故，对式取对数，得

是等比数列

四、重点总结

熟练运用各种方法求数列的通项公式

五、强化训练

A组

1. (2008武大)在数列中，

（1）求证：数列是等比数列

（2）求数列的前n项和

分析与解：（1）本题用待定系数法解较浪费时间，观察题目是个证明题，可以考虑从结论反推。根据提示直接写出等式，即可得证。

（2）由（1）可知，用分组求和可求得

2. (2003交大)数列满足：，求和

分析与解：相邻三项型的递推公式，可以用特征根法来求通项

由

另解，可以观察，再等式两边同时加，可得

故是常值数列，可得，用待定系数法可解得通项公式。

3. (2008复旦)是正数列，其前项和为，满足：对所有的正整数，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（   ）

A.0  B.1  C.  D.

分析与解：由题意得，又，两式相减得，因为是正数列，所以，观察所求式子中最高次为二次，所以只要找二次项的系数即可，，选C

4. (2009复旦)设数列，满足，如果，且是公比为2的等比数列，又设，则（   ）

A.0  B.   C.1  D.2

分析与解：由已知，，累加法可得

易得所求极限为2，选D

5. (2001交大)数列1,3,2,…中，，则_____________

分析与解：形如的递推数列可由归纳法知其为周期为6的周期数列，故

6. (2004交大)已知数列满足，则___________

分析与解：用特征根法，

又

7. (模拟题)已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式

分析与解：由已知，两式相减得

因为各项均为正数，故

由及易得

8. (2005交大)已知月利率为r，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于r的函数关系式（假设贷款时间为2年）

分析与解：方法一，用数列的递推公式来求解。用数列表示第个月后的剩余本金，令，则有，用简单的待定系数法可得

，由

方法二，将每月还款看成对银行的存钱，利用到2年末存款总额因等于欠款总额来建立等式求解。

第二年末存款总额：

第二年末欠款总额：

故

B组

1. (2010浙大)如图，下有一系列正三角形，求第个正三角形的边长

分析与解：此题关键是找到联系和抛物线的关系式

由图，观察可得第个正三角形的上顶点坐标应为

，它在抛物线图像上，故，用退位相减法，化简易得

由已知易得

2. (2007交大)已知函数，对于，定义，若，则______________

分析与解：由已知

又

3. (模拟题)已知数列满足，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得的值最小

分析与解：由原式得

令，则

用累加法可得

，即

显然，当时，，当时，，当时，

又，当时，，故使得的值最小的n的值为40