2021高考数学大一轮复习考点规范练2不等关系及简单不等式的解法理新人教A版
展开考点规范练2 不等关系及简单不等式的解法
考点规范练B册第2页
基础巩固
1.设a,b,c∈R,且a>b,则( )
A.ac>bc B C.a2>b2 D.a3>b3
答案:D
解析:∵a>b,当c<0时,ac<bc,故A错;
当a>0,b<0时,显然满足a>b,
此时,故B错;
当b<a<0时,a2<b2,故C错;
∵幂函数y=x3在R上是增函数,
∴当a>b时,a3>b3.故选D.
2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是( )
A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}
C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}
答案:D
解析:当a=0时,满足条件.
当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知得0<a≤4.
综上,可知0≤a≤4.
3.设a,b∈[0,+∞),A=,B=,则A,B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B
答案:B
解析:由题意知B2-A2=-20,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.
4.(2019湖北武汉部分学校高三调研)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A B C D
答案:A
解析:因为A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2x-3>0}=,所以A∩B=
5.已知,,则2α-的取值范围是( )
A B C.(0,π) D
答案:D
解析:由题意得0<2α<π,0,
∴--0,∴-<2α-<π.
6.已知不等式x2-3x<0的解集是A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,则a=( )
A.-2 B.1 C.-1 D.2
答案:A
解析:解不等式x2-3x<0,得A={x|0<x<3},解不等式x2+x-6<0,得B={x|-3<x<2},又不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B={x|0<x<2},由根与系数的关系得-a=0+2,所以a=-2.
7.不等式<0的解集为( )
A.{x|1<x<2} B.{x|x<2,且x≠1}
C.{x|-1<x<2,且x≠1} D.{x|x<-1或1<x<2}
答案:D
解析:因为不等式<0等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0,
所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.
8.若对任意x∈R,不等式mx2+2mx-4<2x2+4x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,2] B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2]
答案:A
解析:原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在x∈R上恒成立,
①当m=2时,对任意x∈R,不等式都成立;
②当m≠2时,由不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在x∈R上恒成立,
可知
解得-2<m<2.
综上①②,得m∈(-2,2].
9.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为( )
答案:B
解析:(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.
所以f(x)=-x2-x+2.
所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.
(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图所示.
又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,
所以y=f(-x)的图象如图所示.
10.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是 .
答案:(-∞,-1)
解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0.
当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;
当a<0时,有b2<1<b,即无解.
综上可得b<-1.
11.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是 .
答案:
解析:∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,
∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.
∴a2+b2-2b+b2-2b=-
∴a2+b2-2b的取值范围是
12.已知函数f(x)=,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 .
答案:{a|a>-3}
解析:当x∈[1,+∞)时,f(x)=>0恒成立,
即x2+2x+a>0恒成立.
故当x≥1时,a>-(x2+2x)恒成立.
令g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1,则g(x)在区间[1,+∞)内单调递减,
所以g(x)max=g(1)=-3,
所以a>-3.
所以实数a的取值范围是{a|a>-3}.
能力提升
13.已知a<b<c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是( )
A.a2<b2<c2 B.ab2<cb2 C.ac<bc D.ab<ac
答案:C
解析:∵a<b<c,且a+b+c=0,
∴a<0,c>0.又a<b,∴ac<bc.故选C.
14.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值范围是( )
A(1,+∞) B
C D
答案:D
解析:当a=1时,满足题意;当a=-1时,不满足题意;
当a≠±1时,由(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,
可知
解得-<a<1.
综上可知-<a≤1.
15.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( )
A B C D
答案:A
解析:(方法一)∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),
∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根.
由根与系数的关系知
∴x2-x1==15.
又a>0,∴a=故选A.
(方法二)由x2-2ax-8a2<0,
得(x+2a)(x-4a)<0.
∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a).
又不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),
∴x1=-2a,x2=4a.
∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得a=故选A.
16.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是 .
答案:(-∞,-2)
解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.
17.使不等式x2+(a-6)x+9-3a>0(|a|≤1)恒成立的x的取值范围为 .
答案:(-∞,2)∪(4,+∞)
解析:将原不等式整理得(x-3)a+x2-6x+9>0.
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,
所以
即
解得x<2或x>4.
故使原不等式恒成立的x的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).
高考预测
18.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A.-1<b<0 B.b>2
C.b<-1或b>2 D.不能确定
答案:C
解析:由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,即=1,故a=2.
又可知f(x)在[-1,1]上为增函数,
故当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.
当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立等价于b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.
