2021高考数学大一轮复习考点规范练66不等式选讲理新人教A版
展开考点规范练66 不等式选讲
考点规范练B册第50页
基础巩固
1.(2019宁夏石嘴山三中高三一模)已知函数f(x)=|x-a|+2|x-1|.
(1)当a=2时,求关于x的不等式f(x)>5的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)-|x-1|≤|a-2|有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,不等式为|x-2|+2|x-1|>5,
若x≤1,则-3x+4>5,即x<-;
若1<x<2,则x>5,舍去;
若x≥2,则3x-4>5,即x>3.
综上,不等式的解集为-∞,-∪(3,+∞).
(2)∵f(x)-|x-1|=|x-a|+|x-1|≥|1-a|当且仅当(x-a)(x-1)≤0时等号成立,
∴题意等价于|1-a|≤|a-2|,∴a,
∴a的取值范围为
2.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=
故不等式f(x)>1的解集为
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为,所以1,故0<a≤2.
综上,a的取值范围为(0,2].
3.已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.
(1)若不等式f(x)≥|m-1|有解,求实数m的最大值M;
(2)在(1)的条件下,若正实数a,b满足3a2+b2=M,
求证:3a+b≤4.
(1)解若不等式f(x)≥|m-1|有解,只需f(x)的最大值f(x)max≥|m-1|即可.
因为|x-1|-|x+2|≤|(x-1)-(x+2)|=3,
所以|m-1|≤3,
解得-2≤m≤4,所以实数m的最大值M=4.
(2)证明根据(1)知正实数a,b满足3a2+b2=4.
由柯西不等式可知(3a2+b2)(3+1)≥(3a+b)2,
所以(3a+b)2≤16.
因为a,b均为正实数,所以3a+b≤4(当且仅当a=b=1时取“=”).
4.设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
5.(2019广西桂林高三一模)已知函数f(x)=,M是不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
(1)解f(x)=
当x≤-时,由f(x)<2得-1<x≤-;
当-<x<时,f(x)<2成立;
当x时,由f(x)<2得x<1.
所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.
(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1.
从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,所以|a+b|<|1+ab|.
能力提升
6.(2019河北唐山高三二模)已知f(x)=|ax+1|+|ax-1|-2a-4.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;
(2)若a>0,y=f(x)的图象与x轴围成的封闭图形面积为S,求S的最小值.
解:(1)因为|ax+1|+|ax-1|≥|(ax+1)-(ax-1)|=2,
等号当且仅当(ax+1)(ax-1)≤0时成立,
所以f(x)的最小值为2-2a-4=-2a-2.
依题意可得-2a-2≥0,所以a≤-1.
(2)因为a>0,f(x)=|ax+1|+|ax-1|-2a-4,
f(x)=
所以y=f(x)的图象与x轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD,
且顶点为A,B1+,0,C,D
从而S=2(a+1)=2+8,因为a+2,等号当且仅当a=时成立,
所以当a=时,S取得最小值4+8.
7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.
(1)解不等式f(x)≥-2;
(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.
当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈⌀;
当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,故-x<1;
当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;
综上,不等式f(x)≥-2的解集为
(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示.
令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.
故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)≤x-a.
往下平移直线y=x-a时,
联立
解得x=2+,当a≥2+,即a≥4时,对任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.
综上可知,a的取值范围为a≤-2或a≥4.
高考预测
8.已知函数f(x)=|x+1|-a|x-1|.
(1)当a=-2时,解不等式f(x)>5;
(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.
解:(1)当a=-2时,f(x)=
由f(x)的单调性及f=f(2)=5,
得f(x)>5的解集为
(2)由f(x)≤a|x+3|得a
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得,
即a(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).
故a的最小值为
