广西专用高考数学一轮复习考点规范练58不等式选讲含解析新人教A版文

考点规范练58　不等式选讲

基础巩固

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.

(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;

(2)若∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.

2.(2021全国Ⅱ)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.

(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;

(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.

3.已知函数f(x)=,M是不等式f(x)<2的解集.

(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.

(1)求不等式f(x)<3的解集;

(2)若二次函数y=-x2-2x+m与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.

能力提升

5.(2021广西柳州一模)已知函数f(x)=|2x+1|-|mx-1|(m>0).

(1)当m=2时,解不等式f(x)<2;

(2)若f(x)有最小值,且关于x的方程f(x)=-x2-x-有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.

6.设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明:ab+bc+ca<0;

(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥.

高考预测

7.已知函数f(x)=|x-1|+a|x+2|,a∈R.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≤4的解集;

(2)当a<-1时,若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6,求a的值.

答案：

1.解(1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,

当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-;

当-1<x<1时,1-x+x+1=2≥3不成立;

当x≥1时,x-1+x+1=2x≥3,

解得x≥.

综上可得,f(x)≥3的解集为.

(2)∃x∈R,使得f(x)<2成立,即有2>f(x)min,

由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,

当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,

则|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.

则实数a的取值范围为(-1,3).

2.解(1)f(x)=

g(x)=

(2)取临界状态,如图,设点Q(x,0),P,令过点P,Q的直线的斜率是1,即=1,解得x=-.

由函数f(x)=|x-2|知f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函数f(x+a)=|x-(2-a)|的图象的对称轴是直线x=2-a.

当2-a≤-,

即a≥时,f(x+a)≥g(x)成立.

所以a∈.

3.(1)解f(x)=

当x≤-时,由f(x)<2得-1<x≤-;

当-<x<时,f(x)<2成立;

当x≥时,由f(x)<2得≤x<1.

所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.

(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1.

从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,所以|a+b|<|1+ab|.

4.解(1)由已知得函数f(x)=|x-1|+|x+1|=

当x<-1时,令-2x<3,

即x>-,故-<x<-1;

当-1≤x≤1时,此时2<3恒成立,故-1≤x≤1;

当x>1时,令2x<3,

即x<,故1<x<.

综上所述,不等式f(x)<3的解集为.

(2)由二次函数y=-x2-2x+m=-(x+1)2+1+m,

知函数在x=-1取得最大值1+m.

因为函数f(x)=|x-1|+|x+1|=在x=-1处取得最小值2,

所以要使二次函数y=-x2-2x+m与函数y=f(x)的图象恒有公共点,

只需m+1≥2,解得m≥1,

即实数m的取值范围是[1,+∞).

5.解(1)当m=2时,f(x)=|2x+1|-|2x-1|,

当x<-时,f(x)=-(2x+1)+(2x-1)=-2<2恒成立,∴x<-;

当-≤x<时,f(x)=(2x+1)+(2x-1)=4x<2,解得x<,∴-≤x<;

当x≥时,f(x)=(2x+1)-(2x-1)=2<2不成立,此时无解.

综上,f(x)<2的解集为.

(2)可得f(x)=|2x+1|-|mx-1|=

若m-2>0,即m>2时,f(x)无最小值,不符合题意,

若m-2≤0,即0<m≤2时,f(x)有最小值为f=-1-,令g(x)=-x2-x-=-,

故g(x)在x=-处取得最大值为-.

由题可得y=-1-与y=g(x)有两个交点,故-1-<-,解得m>1.综上,1<m≤2.

6.证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,

所以ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-(a2+b2+c2)<0.

(2)不妨设max{a,b,c}=a,

因为abc=1,a=-(b+c),

所以a>0,b<0,c<0.

由bc≤,可得abc≤,故a≥,

所以max{a,b,c}≥.

7.解(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|=

∵f(x)≤4,∴或-2<x<1或

∴1≤x≤或-2<x<1或-≤x≤-2,

∴-≤x≤,

∴不等式的解集为.

(2)当a<-1时,f(x)=

当a<-1时,令f(x)=0,

则x=或x=,

又由得y=3.

如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B,0,C.

∵函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6,

∴S=×3×=6,

解得a=-2或a=(舍去后者).