2021高考数学大一轮复习考点规范练55用样本估计总体理新人教A版

考点规范练55　用样本估计总体

　考点规范练A册第39页　 

基础巩固

1.黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数(单位:万人次)的变化情况(如图所示),从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表,在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中,错误的是(　　)

A.旅游总人数逐年增加

B.2017年旅游总人数超过2015,2016两年的旅游总人数的和

C.年份与旅游总人数成正相关

D.从2014年起旅游总人数增长加快

答案:B

解析:从图表中看出,旅游总人数逐年增加是正确的;年份与旅游总人数成正相关,是正确的;从2014年起旅游总人数增长加快是正确的;选项B明显错误,故选B.

2.某中学高三(2)班甲、乙两名学生自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图,下列说法正确的是(　　)

A.乙学生比甲学生发挥稳定,且平均成绩也比甲学生高

B.乙学生比甲学生发挥稳定,但平均成绩不如甲学生高

C.甲学生比乙学生发挥稳定,且平均成绩比乙学生高

D.甲学生比乙学生发挥稳定,但平均成绩不如乙学生高

答案:A

3.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测,根据抽样检测后零件的质量(单位:克)绘制的频率分布直方图如图所示,样本数据分8组,分别为[80,82),[82,84),[84,86),[86,88),[88,90),[90,92),[92,94),[94,96],则样本的中位数在(　　)

A.第3组 B.第4组 C.第5组 D.第6组

答案:B

解析:由题图可得,前第四组的频率为(0.0375+0.0625+0.075+0.1)×2=0.55,

则其频数为40×0.55=22,且第四组的频数为40×0.1×2=8,即中位数落在第4组,故选B.

4.(2019广东汕头高三二模)在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表,则下列说法中有误的是(　　)

A.成绩在[70,80]分的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1 000人

C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

答案:D

解析:根据频率分布直方图得,成绩出现在[70,80]的频率最大,故A正确;不及格考生数为10×(0.010+0.015)×4000=1000,故B正确;根据频率分布直方图估计考试的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正确;考生竞赛成绩的中位数为70+10≈71.67,故D错误.

5.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:

以上两组数据的方差中较小的一个为s2,则s2=(　　)

A B C D.2

答案:A

解析:由题意,得=7,=7,

[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2]=,

[(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9-7)2]=,

所以两组数据的方差中较小的一个s2=

6.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的平均分是81,则x+y的值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:D

解析:由众数的定义知x=5,由乙班的平均分为81得=81,解得y=4,故x+y=9.

7.(2019广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称为中国“新四大发明”,近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析,其中共享单车使用的人数分别为x1,x2,x3,…,x100,它们的平均数为,方差为s2;其中扫码支付使用的人数分别为3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x100+2,它们的平均数为,方差为s'2,则,s'2分别为(　　)

A.3+2,3s2+2 B.3,3s2

C.3+2,9s2 D.3+2,9s2+2

答案:C

解析:根据题意,数据x1,x2,…,x100的平均数为,方差为s2;

则(x1+x2+…+x100),

s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x100-)2],

若3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x100+2的平均数为',

则'=[(3x1+2)+(3x2+2)+…+(3x100+2)]=3+2,

方差s'2=[(3x1+2-3-2)2+(3x2+2-3-2)2+…+(3x100+2-3-2)2]=9s2.

8.(2019江苏,5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是　　　　　. 

答案:

解析:由题知,该组数据平均值为=8,所以该数据方差为[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=

9.一个容量为200的样本的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[5,9)内的频率和频数分别为　　　　　. 

答案:0.2,40

解析:由频率=小长方形的面积=小长方形的高×组距,可得样本数据落在[5,9)内的频率为0.05×4=0.2.

又频率=,已知样本容量为200,所以所求频数为200×0.2=40.

10.某地有甲、乙两名航模运动员参加了国家队集训,现分别从他们在集训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:

甲:82　81　79　78　95　88　93　84

乙:92　95　80　75　83　80　90　85

(1)画出甲、乙两名航模运动员成绩的茎叶图,指出乙航模运动员成绩的中位数;

(2)现要从中派一人参加国际比赛,从平均成绩和方差的角度考虑,你认为派哪名航模运动员参加合适?请说明理由.

解:(1)茎叶图如下.

乙航模运动员成绩的中位数为84.

(2)派甲参加比较合适,理由如下:

(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85,

(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85,

[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(95-85)2+(93-85)2]=35.5,

[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.

因为,

所以甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.

能力提升

11.若一组数据2,4,6,8的中位数、方差分别为m,n,且ma+nb=1(a>0,b>0),则的最小值为(　　)

A.6+2 B.4+3 C.9+4 D.20

答案:D

解析:∵数据2,4,6,8的中位数是5,方差是(9+1+1+9)=5,

∴m=5,n=5.∴ma+nb=5a+5b=1(a>0,b>0).

(5a+5b)=520(当且仅当a=b时等号成立),

故选D.

12.某校进行了一次创新作文大赛,共有100名同学参赛,经过评判,这100名参赛者的得分都在[40,90]之间,其得分的频率分布直方图如图所示,则下列结论错误的是(　　)

A.得分在[40,60)之间的共有40人

B.从这100名参赛者中随机抽取1人,其得分在[60,80)的概率为0.5

C.这100名参赛者得分的中位数为65

D.估计得分的众数为55

答案:C

解析:根据频率和为1,得(a+0.035+0.030+0.020+0.010)×10=1,解得a=0.005,则得分在[40,60)的频率是0.40,得分在[40,60)之间的有100×0.40=40(人),故A正确;得分在[60,80)的频率为0.5,用频率估计概率,知从这100名参赛者中随机抽取1人,得分在[60,80)的概率为0.5,故B正确;根据频率分布直方图知,最高的小矩形对应的底边中点为=55,则估计得分的众数为55,故D正确.

13.样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为),若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为(　　)

A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定

答案:A

解析:由题意知样本(x1,…,xn,y1,…,ym)的平均数为

又=+(1-α),即α=,1-α=

因为0<α<,所以0<,

即2n<m+n,所以n<m,故选A.

14.在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}.已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为　　　　　. 

答案:160

解析:∵小长方形的面积由小到大构成等比数列{an},且a2=2a1,

∴样本的频率构成一个等比数列,且公比为2,

∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=1,∴a1=,

∴小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1=160.

15.(2019辽宁葫芦岛高三二模)伴随着科技的迅速发展,国民对“5G”一词越来越熟悉,“5G”全称是第五代移动电话行动通信标准,也称第五代移动通信技术.2018年12月10日,工信部正式对外公布,已向中国电信、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频段试验频率使用许可.2019年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设.为了了解某市市民对“5G”的关注情况,通过问卷调查等方式研究市民对该市300万人口进行统计分析,数据分析结果显示:约60%的市民“掌握一定5G知识(即问卷调查分数在80分以上)”,将这部分市民称为“5G爱好者”.某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在15~45岁之间的100人,按照年龄绘制成频率分布直方图(如图所示),其分组区间为:(15,20],(20,25],(25,30],(30,35],(35,40],(40,45].

(1)求频率分布直方图中的a的值;

(2)估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数;

(3)若该市政府制定政策:按照年龄从小到大选拔45%的“5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养,将当选者称成为“5G达人”.按照上述政策及频率分布直方图,估计该市“5G达人”的年龄上限.

解:(1)依题意,得(0.014+0.04+0.06+a+0.02+0.016)×5=1,所以,a=0.05.

(2)根据题意全市“5G爱好者”约为300×60%=180(万人),

由样本频率直方图分布可知,35岁以上“5G爱好者”的频率为(0.02+0.016)×5=0.18,

据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数为180×0.18=32.4(万人).

(3)样本频率分布直方图中前两组的频率之和为(0.014+0.04)×5=0.27<45%,

前3组频率之和为(0.014+0.04+0.06)×5=0.57>45%,所以,年龄在25~30之间,不妨设年龄上限为m,

由0.27+(m-25)×0.06=0.45,得m=28,

所以,估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁.

高考预测

16.某学校随机抽取20个班,调查各班有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,以5为组距将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是(　　)

答案:A

解析:由组距可知选项C,D不对;由茎叶图可知[0,5)有1人,[5,10)有1人,故第一、二小组频率相同,频率分布直方图中矩形的高应相等,可排除B.故选A.