湖南省岳阳市备战2021年中考数学试题分类汇编 专题三 函数及其图像（教师版）

专题三   函数及其图像

1. (2016,3)函数中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥0          B．x＞4          C．x＜4          D．x≥4

答案：D

2. (2016,8)对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）

A．0    B．2    C．3      D．4

答案：B

3. (2016,15)如图，一次函数（k、b为常数，且k≠0）和反比例函的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是　　　　　　．

答案：

4. (2016,24)如图①，直线交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为和和，记，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线沿y轴翻折并“复制”得到抛物线，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作轴于点E，交直线于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）令y=0代入，

∴x=﹣3，

A（﹣3，0），

令x=0，代入，

∴y=4，

∴C（0，4），

设抛物线F1的解析式为：，

把C（0，4）代入上式得，a=，

∴，

（2）如图①，设点M（a，）

其中﹣3＜a＜0

∵B（1，0），C（0，4），

∴OB=1，OC=4

∴，

过点M作MD⊥x轴于点D，

∴MD=，AD=a+3，OD=，

∴=AD•MD+（MD+OC）•OD

=AD•MD+OD•MD+OD•OC

=MD•(AD+OD)+OD•OC

=MD•OA+OD•OC

=×3（）+×4×（﹣a）

=

∴S=-

=（）﹣2

=

=

∴当a=时，

S有最大值，最大值为

此时，M（，5）；

（3）如图②，由题意知：M′（，5），B′（，0），A′（3，0）

∴AB′=2

设直线A′C的解析式为：y=kx+b，

把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，

得：，∴

∴y=x+4，

令x=代入y=x+4，

∴y=2

∴D（，2）

由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=

设P（m，0）

当m＜3时，

此时点P在A′的左边，

∴∠DA′P=∠CAB′，

当时，△DA′P△CAB′，

此时， =（3﹣m），

解得：m=2，

∴P（2，0）

当时，△DA′P△B′AC，

此时， =（3﹣m）

m=，

∴P（，0）

当m＞3时，

此时，点P在A′右边，由于∠CB′O≠∠DA′E，∴∠AB′C≠∠DA′P

∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，

综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（，0）．

5. (2017,8)已知点A在函数的图象上，点B在直线（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数，图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（　　）

A．有1对或2对    B．只有1对    C．只有2对     D．有2对或3对

答案：B

6. (2017,9)函数中自变量x的取值范围是　      　．

答案：

7. (2017,19)如图，直线y=x+b与双曲线y=（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．

答案：解：（1）把A（1，2）代入双曲线y=，可得k=2，

∴双曲线的解析式为y=；

把A（1，2）代入直线y=x+b，可得b=1，

∴直线的解析式为y=x+1；

（2）设P点的坐标为（x，0），

在y=x+1中，令y=0，则x=﹣1；令x=0，则y=1，

∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO，

∵△BCP的面积等于2，

∴BP×CO=2，即×1=2，

解得x=3或-5，

∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．

8. (2017,24)如图，抛物线经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线：交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线下方时，过点P作PMx轴交于点M，PNy轴交于点N，求PM+PN的最大值．

（3）设F为直线上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

答案：解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入得，

， 解得

∴抛物线的解析式为：得；

（2）设P（m，），

∵PMx轴，PNy轴，M，N在直线AD上，

∴N（m，），M（，），

∴PM+PN=，

∴当m=时，PM+PN的最大值是；

（3）能，

理由：∵交y轴于点E，

∴E（0，），

∴CE=，

设P（m， ），

∵以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，

①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，

∴F（m，），

∴ =，

∴m=1，m=0（舍去），

②以CE为对角线，连接PF交CE于G，

∴CG=GE，PG=FG，

∴G（0，），

设P（m， ），则F（，），

∴ +

∵△＜0，

∴此方程无实数根，

综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．

9. (2018,3)函数中自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞3    B．x≠3     C．x≥3    D．x≥0

答案：C

10. (2018,4)抛物线的顶点坐标是（　　）

A.    B.    C.    D.

答案：C

11. (2018,8)在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（，m），B（，m），C（，m），其中m为常数，令，则ω的值为（　　）

A.1              B.m 

C.              D.

答案：D

12. (2018,19)如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．

（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．

答案：解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6

∴反比例函数的解析式为y=．

（2）设B点坐标为（a，b），如图，

作AD⊥BC于D，则D（2，b）

∵反比例函数y=的图象经过点B（a，b）

∴b=

∴AD=．

∴

=

解得a=6

∴b==1

∴B（6，1）．

设AB的解析式为y=kx+b，

将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得

，解得，

直线AB的解析式为．

13. (2018,24)已知抛物线F：的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为．

（1）求抛物线F的解析式；

（2）如图1，直线：与抛物线F相交于点和点（点A在第二象限），求的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．

①判断△AA′B的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）∵抛物线的图象经过点（0，0）和，

∴，解得：，

∴抛物线F的解析式为．

（2）将代入，得：，解得：，

∴，，

∴=（）-（）=（m＞0）．

（3）∵，

∴点A的坐标为（），点B的坐标为（，2）．

∵点A′是点A关于原点O的对称点，

∴点A′的坐标为（，）．

①        △AA′B为等边三角形，理由如下：

∵A（，），B（，），A′（，），

∴AA′=，AB=，A′B=，

∴AA′=AB=A′B，

∴△AA′B为等边三角形．

②∵△AA′B为等边三角形，

∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．

（i）当A′B为对角线时，有，解得：，

∴点P的坐标为；

（ii）当AB为对角线时，有，解得：，

∴点P的坐标为；

（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，

∴点P的坐标为（，）．

综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为、和（，）．

14. (2019,5)函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A.              B. 

C.              D.且

答案：D

15. (2019,8)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则c的取值范围是（  ） 

A.c＜-3             B.c＜-2 

C.c ＜              D.c＜1

答案：B

16. (2019,19)如图，双曲线经过点P（2,1），且与直线有两个不同的交点.

(1)     求m的值；

(2)     求k的取值范围.

答案：(1) ∵双曲线经过点P（2,1）

∴m=2×1=2；

(3)     ∵双曲线与直线有两个不同的交点，

∴，整理为：

∴△=

∴

∴k的取值范围是.

17. (2019,24)如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）

（1）求点A、B的坐标；

（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线经过A'、B'两点，已知点M为抛物线的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；

（3）如图2，延长OB'交抛物线于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）当x＝﹣4时，

∴点A坐标为（﹣4，﹣4）

当y＝﹣2时，

解得：

∵点A在点B的左侧

∴点B坐标为（﹣1，﹣2）

（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G

∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2

∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'

∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°

∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°

∴∠B'OG＝∠OBE

在△B'OG与△OBE中

∴△B'OG≌△OBE（AAS）

∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1

∵点B'在第四象限

∴B'（2，﹣1）

同理可求得：A'（4，﹣4）

∴OA＝OA'＝

∵抛物线：经过点A'、B'

∴   解得：

∴抛物线解析式为：

∴对称轴为直线：

∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）

∴，

∵点A'在以OM为直径的圆上

∴∠OA'M＝90°

∴

∴

解得：

∴A'M＝

∴

（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．

∵B'（2，﹣1）

∴直线OB'解析式为

   解得：（即为点B'）

∴C（8，﹣4）

∵A'（4，﹣4）

∴A'Cx轴，A'C＝4

∴∠OA'C＝135°

∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°

∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°

∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似

∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）

①若△AOD∽△OA'C，则＝1

∴OD＝A'C＝4

∴D（4，0）或（0，4）

②若△DOA∽△OA'C，则

∴OD＝OA'＝8

∴D（8，0）或（0，8）

综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．

18. (2020,8)对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数有两个不相等的零点，(<)，关于x的方程有两个不相等的非零实根，(<)，则下列关系式一定正确的是（  ）

A.            B.

C.            D.

答案：A

19. (2020,10)函数中，自变量x的取值范围是         .

答案：

20. (2020,13)在-3、-2、1、2、3五个数中随机抽取一个数作为二次函数中a的值，则该二次函数图像开口向上的概率是         .

答案：

21. (2020,19)如图，一次函数的图像与反比例函数为常数且的图像相交于A(-1，m)，B两点.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)将一次函数的图像沿y轴向下平移b个单位(b>0)，使平移后的图像与反比例函数的图像有且只有一个交点，求b的值.

答案：(1)

(2)1或9

22. (2020,24)如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(-,0)和点B,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式

(2)如图2,将抛物线先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线.若抛物线与抛物线相交于点D,连接BD,CD,BC.

①求点D的坐标;

②判断△BCD的形状,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得△BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由

答案：(1)

(2) ①(-1,1) ②△BCD是等腰直角三角形

(2)存在，P的坐标为(-2，-2)、(1，-3)