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第2讲 随机变量及其分布（知识点串讲）（复习讲义）
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第2讲 随机变量及其分布
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1．
例1．(2019·山东济宁检测)已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列．
解 (1)设乙厂生产的产品为m件，依题意得＝，
∴m＝35．
(2)∵上述样本数据中满足x≥175且y≥75的只有2件，
∴估计乙厂生产的优质品为35×＝14(件)．
(3)依题意，ξ可取0,1,2，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝．
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P
…
例2. （2019年岳麓区月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝．
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
综上知，X的分布列为
X
1
2
3
P
[变式探究1] 在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率．
解 由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．
[变式探究2] 若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列．
解 由题意知X的所有可能值为1,2,3，且
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)
＝1－－＝．
综上可知，X的分布列为
X
1
2
3
P
练习．(2019·辽宁大连月考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为____________．
【答案】 [由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝＝.]
4．条件概率
(1)定义：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率．
(2)性质
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③条件概率的求法
1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．
2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝．
例3．(2019·山东济南模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
【答案】B [P(A)＝＝，P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.]
[变式探究1] 若将题中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？
解 P(A)＝＝，P(B)＝＝，
又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，
所以P(B|A)＝＝＝．
[变式探究2] 将题改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值．
解 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A种方法；其中第一次取到的是奇数，有AA种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有AA种方法．则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝．
练习．(2019· 辽宁大连质检)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】C [设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B．由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为.]
5．事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
6. 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
例4. (2019·云贵川三省联考)某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．
(1)若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战全运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？
(2)求M获胜场数X的分布列和数学期望．
解 (1)记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，由于事件A，B，C相互独立，所以
P(D)＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＋××＝，由于>，所以M会入选最终的大名单．
(2)M获胜场数X的可能取值为0,1,2,3，则
P(X＝0)＝P( )
＝××＝；
P(X＝1)＝P(A )＋P( C)＋P(B)＝××＋××＋××＝＝；
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝；
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝，所以M获胜场数X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
练习. (2019·山东沂水模拟)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
解 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)法一：3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝××＋××＋××＝．
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A ∪B∪ C)＝××＋××＋××＝．
故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
法二：3人都未被选中的概率为
P( )＝＝，
所以3人中至少有一人被选中的概率为1－＝.
7．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
例5．(全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
【答案】A [3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.]
练习. (2019·山东济南模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4．
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．
解 (1)由直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为
1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1．
因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，
故抽取的总人数为＝40．
又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37．
(2)ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为，成绩不合格的概率为
1－＝，可判断ξ～B．
P(ξ＝0)＝C×2＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×2＝，
故所求分布列为
X
0
1
2
P
8．均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np．
9．方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
例6．(2019·江西上饶月考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝____________．
【答案】 [由于X～B(n，p)，且E(X)＝30，D(X)＝20，
所以解之得p＝.]
练习. (2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2·(1－p)18．
因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0.1．
当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；
当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0．
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1．
(2)由(1)知，p＝0.1．
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．
所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490．
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．
由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．
10．正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974．
例7．(2019·山东泰安调研)已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，则P(X>2)的值为( )
A． B．
C．1－a D．
【答案】A [根据正态分布可知P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故P(X>2)＝.]
练习．(2019·山东德州模拟)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )
(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5)
A．4 093件 B．4 772件
C．6 827件 D．8 186件
【答案】 D [由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]内的产品的概率为P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为0.682 7＋＝0.818 6，据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8 186(件)．]
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1．
例1．(2019·山东济宁检测)已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列．
解 (1)设乙厂生产的产品为m件，依题意得＝，
∴m＝35．
(2)∵上述样本数据中满足x≥175且y≥75的只有2件，
∴估计乙厂生产的优质品为35×＝14(件)．
(3)依题意，ξ可取0,1,2，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝．
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P
…
例2. （2019年岳麓区月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝．
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
综上知，X的分布列为
X
1
2
3
P
[变式探究1] 在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率．
解 由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．
[变式探究2] 若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列．
解 由题意知X的所有可能值为1,2,3，且
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)
＝1－－＝．
综上可知，X的分布列为
X
1
2
3
P
练习．(2019·辽宁大连月考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为____________．
【答案】 [由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝＝.]
4．条件概率
(1)定义：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生条件下，事件B发生的条件概率．
(2)性质
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
③条件概率的求法
1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．
2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝．
例3．(2019·山东济南模拟)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A． B．
C． D．
【答案】B [P(A)＝＝，P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.]
[变式探究1] 若将题中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？
解 P(A)＝＝，P(B)＝＝，
又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，
所以P(B|A)＝＝＝．
[变式探究2] 将题改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值．
解 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A种方法；其中第一次取到的是奇数，有AA种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有AA种方法．则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝．
练习．(2019· 辽宁大连质检)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】C [设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B．由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为.]
5．事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
6. 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
例4. (2019·云贵川三省联考)某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．
(1)若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战全运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？
(2)求M获胜场数X的分布列和数学期望．
解 (1)记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，由于事件A，B，C相互独立，所以
P(D)＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＋××＝，由于>，所以M会入选最终的大名单．
(2)M获胜场数X的可能取值为0,1,2,3，则
P(X＝0)＝P( )
＝××＝；
P(X＝1)＝P(A )＋P( C)＋P(B)＝××＋××＋××＝＝；
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝；
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝，所以M获胜场数X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
练习. (2019·山东沂水模拟)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
解 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)法一：3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝××＋××＋××＝．
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A ∪B∪ C)＝××＋××＋××＝．
故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
法二：3人都未被选中的概率为
P( )＝＝，
所以3人中至少有一人被选中的概率为1－＝.
7．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
例5．(全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
【答案】A [3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.]
练习. (2019·山东济南模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4．
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．
解 (1)由直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为
1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1．
因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，
故抽取的总人数为＝40．
又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37．
(2)ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为，成绩不合格的概率为
1－＝，可判断ξ～B．
P(ξ＝0)＝C×2＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×2＝，
故所求分布列为
X
0
1
2
P
8．均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np．
9．方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
例6．(2019·江西上饶月考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝____________．
【答案】 [由于X～B(n，p)，且E(X)＝30，D(X)＝20，
所以解之得p＝.]
练习. (2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2·(1－p)18．
因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0.1．
当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；
当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0．
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1．
(2)由(1)知，p＝0.1．
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．
所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490．
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．
由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．
10．正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974．
例7．(2019·山东泰安调研)已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，则P(X>2)的值为( )
A． B．
C．1－a D．
【答案】A [根据正态分布可知P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故P(X>2)＝.]
练习．(2019·山东德州模拟)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )
(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5)
A．4 093件 B．4 772件
C．6 827件 D．8 186件
【答案】 D [由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]内的产品的概率为P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为0.682 7＋＝0.818 6，据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8 186(件)．]
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