第2讲 直线、平面平行和垂直的判定与性质（知识点串讲）（复习讲义）

第二讲　直线、平面平行垂直的判定与性质

【知识梳理】
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α
性质
定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)

l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b
2．判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
【考点精炼】
考点一：直线与平面平行的判定
例1、(2019·陕西西安调研)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：AP∥GH.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，
∴AP∥GH.
练习、如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．

(1)证明AD1∥平面BDC1；
(2)证明BD∥平面AB1D1.
证明　(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，
∴C1D1∥DA，C1D1＝DA，
∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D.
又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，
∴AD1∥平面BDC1.
(2)连接D1D.

∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，
∴BB1∥D1D.
又D1，D分别为A1C1AC中点，
∴BB1＝DD1，
∴四边形BDD1B1为平行四边形，
∴BD∥B1D1.
又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
∴BD∥平面AB1D1.
练习、如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．

证明　∵CD∥平面EFGH，
而平面EFGH∩平面BCD＝EF，
∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.
同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形，
∴CD∥EF，HE∥AB，
∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴平行四边形EFGH为矩形．
【知识梳理】
3.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)

a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
性质
定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
4.判定面面平行的四种方法
(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．
【考点精炼】
考点二：平面与平面平行的判定与性质
例2、(2019年南宁月考)如图所示，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
[变式探究]　在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1.
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
训练、如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.
证明　(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE∩BD＝D，DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，
所以平面BDE∥平面MNG.
【知识梳理】
5、重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

【考点精炼】
考点三：与线面平行相关的命题真假判断
例3．(2019·山东日照月考)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)
A． 若α⊥β，m⊥β，则m∥α
B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n
【答案】D　[对于A，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；对于B，若m∥α，n⊥m，则n⊥α或n⊂α或n与α相交，故B错误；对于C，若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α、β相交，故C错误；对于D，若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故D正确．]
练习．(全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)


【答案】A　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交．
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ.∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.]
【知识梳理】
6．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b
7．证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
8．证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊图形中的垂直关系．
(2)利用等腰三角形底边中线的性质．
(3)利用勾股定理的逆定理．
(4)利用直线与平面垂直的性质．
【考点精炼】
考点四：直线与平面垂直的判定与性质
例4．(2019·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β且m⊂α B．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β
【答案】C　[由线面垂直的判定定理，可知C正确．]
练习、（2019年潍坊月考）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝.

求证：D′H⊥平面ABCD.
证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，
故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.
【知识梳理】
9．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β
性质
定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α
10.面面垂直的两种证明方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
【考点精炼】
考点五：面面垂直的判定与性质
练习、(北京卷)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．
(1)证明　因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.
又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)证明　因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，
所以BD⊥平面PAC，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)解　因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，
所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，
所以三棱锥E­BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
[变式探究]　在本例条件下，证明：平面PBC⊥平面PAB.
证明　由(1)知PA⊥BC，又BC⊥AB且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.
练习、(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q­ABP的体积．
(1)证明　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解　由已知可得，
DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊DC.

由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q­ABP的体积为VQ­ABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin 45°×1＝1.
考点六：平行、垂直中关系的证明
例6、(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

求证：(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
(1)证明　在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.
因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C.
(2)证明　在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，
四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
练习、(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
(1)证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，
故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，
所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)解　当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，
所以MC∥OP.
又MC⊄平面PBD，OP⊂平面BPD，
所以MC∥平面PBD.
练习、(2019·山东潍坊模拟)如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.

(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36，求a的值．
(1)证明　在题图(1)中，因为AB＝BC＝AD＝a，
E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.
即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)解　由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．
由题图(1)知，A1O＝AO＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.