陕西省安康中学2020届高三第三次模拟考试文科数学试题

2020届安康中学高三第三次模拟考试卷

文科数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则集合不可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】因为，所以，对于A，;对于B， ;对于C， A；对于D，易知 ，因此选C．

2.已知是虚数单位，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用复数之间的代数运算即可.

【详解】.

故选：D

【点睛】本题主要考查了复数的代数运算，属于基础题.

3.过点且垂直于直线的直线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设出垂直于直线的直线方程，把带入解出即可.

【详解】设垂直于直线的直线方程为，

又直线过点，解得，

故所求直线的方程为.

故选:D

【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的设法，属于基础题.

4.下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题目所给条件，说明函数f（x）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A是二次函数，C是反比例函数，D是指数函数，图象情况易于判断，B是对数型的，从定义域上就可以排除．

【详解】函数满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为减函数．

f（x）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意．

函数f（x）=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义．

对于函数f（x）=，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=，因为x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x20，x2﹣x1＞0，则，所以f（x1）＞f（x2），故函数f（x）=在（﹣∞，0）上为减函数．函数f（x）=ex在（﹣∞，+∞）上为增函数．

故选C．

【点睛】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数．判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函数的图像得到单调性.

5.设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A. 2 B.  C. 9 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列前项和公式化简，再利用等差数列性质：即可计算出.

【详解】，又.

故选：C

【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和以及等差数列的性质，属于基础题.

6.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先计算出函数的图象向右平移个单位的函数，再根据化简即可.

【详解】∵将函数的图象向右平移个单位得

，

.

故选：B

【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换，属于基础题.

7.设是0，1，2，3，4，5中任意两个不同的数，那么复数恰好是纯虚数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据纯虚数的概念，若复数恰好是纯虚数，即实部是0.

【详解】有题意知本题是一个古典概型，

实验发生包含的事件是从6个数字中任取2个数字，共有种结果，

满足条件的事件是复数恰好是纯虚数，即实部是0，这样虚部有5中结果，

∴复数恰好是纯虚数的概率为.

故选：A

【点睛】本题主要考查了纯虚数和古典概型，属于基础题.

8.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据几何体的三视图可知道该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形.

【详解】由题意可得三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，

然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形，

圆锥的底面半径为1，母线长为2，

该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和，

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，高为，

.

故选：A

【点睛】本题主要考查了根据三视图还原几何体，组合体的表面积，解决此类问题的关键是还原几何体，属于中等题.

9.．阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1；

第二圈，n=13,n=27,否k=2；

第三圈，n=27,n=55,否k=3；

第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B．

考点：本题主要考查程序框图．

点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果．

10.在所在的平面内有一点，如果，那么的面积与的面积之比是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先化简可以得出，所以点P在AC上，再根据三角形面积公式即可得出.

【详解】，

，

∴点在边上，且，如下图

设的边上的高为，.

【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题.

11.已知四面体的外接球的球心在上，且平面，若四面体的体积为，则该球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意为的中点，为直角三角形，所以为球的直径，再根据四面体的体积为，即可求出球的半径，利用球的体积公式即可求出球的体积.

【详解】由题意，为的中点，为直角三角形，如下图

设，由于.

又平面为球心，，

，

.

故选：D

【点睛】本题主要考查了三棱锥和球的体积公式，属于中等题.

12.已知定义在上奇函数满足①对任意，都有成立；②当时，，则在上根的个数是（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意画出函数及的图像即可.

【详解】由①知函数的最小正周期是3，由②得，

画出函数及的图像即得.

故选：B

【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题，解决此类问题关键是画出两个函数的图像,属于中等题.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料：

若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为y＝a+bx，其中已知b＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________

【答案】24.68

【解析】

【分析】

根据所给的数据求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程，代入x的值，预报出结果．

【详解】∵由表格可知，

5，

∴这组数据的样本中心点是（4，5），

根据样本中心点在线性回归直线上，

∴5＝a+1.23×4，

∴a＝0.08，

∴这组数据对应的线性回归方程是y＝1.23x+0.08，

∵x＝20，

∴y＝123×20+0.08＝24.68

故答案为24.68

【点睛】本题考查线性回归方程的求解及应用，考查样本中心点的计算，考查了计算能力，属于基础题．

14.设满足约束条件，若目标函数的最大值是12，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据约束条件画出平面区域，找出取到最大值时的关系，再把代入，得到关于的二次函数，即可求出最值.

【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线过直线与直线的交点时，

目标函数取得最大12，

即，即，

则，

故答案为:.

【点睛】本题给出了二元一次不等式组，求目标函数的最大值，主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中等题.

15.已知数列的前项和为，且，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先化简可得数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再利用等比数列的前项和公式求出

【详解】∵数列满足，

，解得，

当时，，

∴数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2.

则

，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.

16.已知双曲线的左右焦点是，设是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为的模，且它们的夹角为，则双曲线的离心率是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据在上的投影的大小恰好为的模，得出，再利用直角三角形，双曲线的定义即可求出离心率.

【详解】在上的投影的大小恰好为的模，

又因为它们的夹角为，

∴在中，，

根据双曲线的定义，

所以

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，属于基础题.

三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设函数.直线与函数图象相邻两交点的距离为.

（1）求的值；

（2）在中，角所对的边分别是、、.若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）化简，因为的最大值为，函数的最小正周期为，利用，得.

（2）根据点是函数图象的一个对称中心求出角的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆的面积公式即可求出圆的面积.

【详解】（1）

，

因为的最大值为，依题意，函数的最小正周期为，

由，得.

（2）因为，依题意，

，

，

由正弦定理，

外接圆的面积为.

【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式、三角函数的降幂公式、三角函数的图像与性质和正弦定理等知识，属于中等题.

18.为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理，制成下表：

（1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；

（2）若从成绩在中选一名学生，从成绩在中选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求组中学生和组中学生同时被选中的概率？

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）计算出各组的频率即可.

（2）记中的学生为；中的学生为，找出基本事件，，同时被抽得的事件即可。

【详解】（1）各组频率分别为0.04，0.06，0.28，0.30，0.24，0.08，

所以，图中各组的纵坐标分别为0.004，0.006，0.028，0.03，0.024，0.008.

（2）记中的学生为；中的学生为，

由题意可得，基本事件为，共12个，

满足同时被选中的事件为共3个，

∴学生和同时被选中的概率为.

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型，需要熟悉掌握古典概型的求法，属于基础题.

19.如图,是边长为4正方形，平面，，．

（1）求证：平面；

（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并

证明你的结论．

【答案】（1）证明过程见详解；（2）当是线段的一个四等分点，即时，平面． 证明过程见详解.

【解析】

【分析】

（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先判断是线段的一个四等分点，即时，平面．

再由线面平行的判定定理即可证明结论成立.

【详解】（1）证明：因为平面，

所以.

因为是正方形，

所以，因为,

从而平面.

（2）当是线段的一个四等分点，即时，平面．

取上的四等分点，使，连结，则，且,

因为，且，所以，且，

故四边形是平行四边形．

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

【点睛】本题主要考查线面垂直与线面平行的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型.

20.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为， 在轴负半轴上有一点，且

（1）若过三点的圆 恰好与直线相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在满足题意的点且的取值范围是．

【解析】

分析】

（1）根据，得，所以|F1F2|＝a，利用，可得F1为BF2的中点，从而可得△ABF2的外接圆圆心为，半径r＝|F1A|＝a，根据过A、B、F2三点的圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可确定椭圆方程；

（2）由（1）知F2（1，0），设l的方程为：y＝k（x﹣1）与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，所以，可得m，k之间的关系，从而可得结论．

【详解】（1）由题意，得，所以|F1F2|＝a，∵|AF1|＝|AF2|＝a，，

∴F1为BF2的中点，∴|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|＝a，∴△ABF2的外接圆圆心为，半径r＝|F1A|＝a，

又过A、B、F2三点的圆与直线相切，所以，

∴a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴所求椭圆方程为；

（2）由（1）知F2（1，0），设l的方程为：y＝k（x﹣1），

将直线方程与椭圆方程联立，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0；

设M（x1，y1），N（x2，y2），则；

假设存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，由于菱形对角线垂直，所以，

又

又MN的方向向量是（1，k），故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m＝0，则k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m＝0，

即，由已知条件知k≠0且k∈R，

∴，∴，故存在满足题意的点P且m的取值范围是.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键，属于中档题．

21.已知函数.

（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（2）设，若存在两个零点且，证明：函数在处的切线不可能平行于轴.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1将在其定义域内为增函数，转化成对恒成立.

（2）对于存在性问题，首先假设存在，即在处的切线可能平行于轴再利用导数研究在上的单调性，最后出现矛盾，说明假设不成立.

【详解】（1），

由已知，得对一切恒成立，

，即对一切恒成立，

，

的取值范围为.

（2），

由已知得.

，即.

假设结论不成立，即，则.

又，

，

.

令，则有.

令.

.

在上是增函数，

∴当时，，即.

∴当时，不可能成立，

∴假设不成立，

在处的切线不平行于轴.

【点睛】本题难度比较大，主要考查用导数法研究函数的单调性，体现了转化的思想和分类讨论的思想，属于难题.

22.在极坐标系中，已知点到直线的距离为3.

（1）求实数的值；

（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.

【答案】（1）；（2），点的轨迹是以为圆心，为半径的圆

【解析】

【分析】

（1）把化成直角坐标方程为，再根据点到直线的距离公式即可算出.

（2）首先根据由直线极坐标方程，设，找出两点之间的关系，把点代入直线方程即可.

【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，

由点到直线的距离为.

（2）由（1）得直线的方程为，

设，则，①

因点在直线上，所以，②

将①代入②，得.

则点的轨迹方程为，

化为直角坐标方程为，

则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆

【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标之间的互化,以及轨迹问题,属于中等题.

23.已知f(x)=x|x-a|-2

(1)当a=1时，解不等式f(x)<|x-2|

(2)当x∈(0,1]时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值定义分类讨论，最后求并集，（2）利用变量分离法转化为求对应函数最值，即得结果.

【详解】（1）或或

解得

（2）

【点睛】本题考查含绝对值解法以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.