2020年江苏省常州外国语学校中考数学模拟试卷（5月份） 解析版

2020年江苏省常州外国语学校中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）2的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（2分）计算+，正确的结果是（　　）
A．1 B． C．a D．
3．（2分）如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．圆锥
4．（2分）如图，△ABC中，AC＝BC＜AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确（　　）

A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠A+∠2＜180° D．∠A+∠1＞180°
5．（2分）若式子有意义，则x满足（　　）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1
6．（2分）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
7．（2分）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2分）如图，C是线段AB上一点，AC＝CB＝2，以CB为直径作半圆O，P是半圆O上一动点，以AP为斜边向上作Rt△APQ，使得∠PQA＝90°，∠PAQ＝30°．若点P从点C沿半圆弧运动到点B，则点Q在运动中经过的路径长是（　　）

A．π B．π C．2π D．π
二、填空题（本大题共10小，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）计算：a•a2＝　 　．
10．（2分）实数9的平方根是　 　．
11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2＝　 　．
12．（2分）如果∠α＝30°，那么∠α的补角等于　 　．
13．（2分）如果a+b﹣3＝0，那么代数式1﹣2a﹣2b的值是　 　．
14．（2分）在平面直角坐标系中有一点P（5，﹣12），则点P到原点O的距离是　 　．
15．（2分）若是关于x、y的二元一次方程mx﹣y＝2的解，则m＝　 　．
16．（2分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝　 　度．

17．（2分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为　 　．

18．（2分）如图，在由边长相等的小正三角形组成的网格中，A、B、C为格点，则＝　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）计算：
（1）（）2﹣（）﹣1﹣（+1）0；
（2）（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）．
20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥DE，AE＝AD，AE交BC于O．
（1）求证：∠BCA＝∠EAC；
（2）若CE＝3，AC＝4，求△COE的周长．

22．（8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．
（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？

23．（8分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请求两次摸到不同颜色球的概率．
24．（8分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+m的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知A（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接BO，求△BOC的面积．

26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1），对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．已知点E（3，0）．
（1）直接写出d（点E）的值；
（2）过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
（3）设T是直线y＝﹣x+3上一点，以为T圆心，长为半径作⊙T，若d（⊙T）满足d（⊙T）＞+，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．

27．（10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A，点B（3，0），交y轴于点C，点M（m，0）是线段OB上一点（与点O、B不重合），过点M作MP⊥x轴，交BC于点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若∠COP＝∠QCP，求QP的长；
（3）若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，点N是线段OC上一点，连接MN，求MN+CN的最小值．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CD为直径作⊙Q，设点C（0，m）．
（1）求线段AB的长；
（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围．


2020年江苏省常州外国语学校中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：D．
2．【解答】解：原式＝＝1．
故选：A．
3．【解答】解：∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个长方形组成，
∴该几何体是三棱柱．
故选：B．
4．【解答】解：∵AC＝BC＜AB，
∴∠A＝∠ABC＜∠ACB，
∵∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠2＝∠A+∠ABC，
∴∠A+∠2＝∠A+∠A+∠ABC＜∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
故选：C．
5．【解答】解：由题意，得x﹣1≥0．
解得x≥1．
故选：A．
6．【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠AOD+∠D＝180°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠DOB＝110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°，
故选：D．
7．【解答】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AE＝3，
故选：C．
8．【解答】解：如图，过点A作⊙O的切线AR，R为切点，连接CR，OR，OQ，QR，OP．

∵AR是⊙O的切线，
∴AR⊥OR，
∴∠ARO＝90°，
∵AC＝BC，
∴AC＝OC＝OR，
∴AO＝2OR，
∴∠OAR＝30°，
∵∠QAP＝30°＝∠OAR，∠AQP＝∠ARO＝90°，
∴△OAR∽△PAQ，
∴＝，
∴＝＝，
∵∠OAP＝∠RAQ，
∴△CAP∽△RAQ，
∴＝＝，
∴RQ＝，
∴点Q的运动轨迹是以R为圆心，为半径的半圆，
∴Q在运动中经过的路径长是π，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．
故答案为：a3．
10．【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
11．【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
12．【解答】解：根据题意，∠α＝30°，
则∠α的补角＝180°﹣30°＝150°；
故答案为：150°．
13．【解答】解：∵a+b﹣3＝0，
∴a+b＝3，
则原式＝1﹣2（a+b）
＝1﹣2×3
＝1﹣6
＝﹣5，
故答案为：﹣5．
14．【解答】解：点P到原点O的距离是＝13．
故答案为：13．
15．【解答】解：把代入方程mx﹣y＝2得：m+1＝2，
解得：m＝1，
故答案为：1．
16．【解答】解：连接OD，如图：
∵OC⊥AB，
∴∠COE＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCE＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，
∴∠BAD＝∠BOD＝20°，
故答案为：20．

17．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA•cosC＝4×＝1，
∴AD＝＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝4﹣1＝3，AD＝，
∴AB＝＝＝2，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．

18．【解答】解：如图取格点D，连接AD，
设小等边三角形的边长为a，则AD＝a．CD＝a，DB＝3a．

∴AD2＝DC•DB，
∴＝，
∵∠ADC＝∠ADB，
∴△ADC∽△BDA，
∴＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．【解答】解：（1）原式＝2﹣3﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣1）
＝x2+2x+1﹣x2+1
＝2x+2．
20．【解答】解：解不等式x﹣1≤0，得：x≤1，
解不等式3x＞﹣6+x，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∵AC⊥DE，AE＝AD，
∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠EAC；
（2）解：∵AC⊥DE，
∴∠ACE＝90°，
∴AE＝＝＝5，
由（1）得：∠BCA＝∠EAC，
∴OA＝OC，
∴△COE的周长＝OE+OC+CE＝OE+OA+CE＝AE+CE＝5+3＝8．
22．【解答】解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：＝＝3.3次，
则这组样本数据的平均数是3.3次．
∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4次．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，＝3次，
∴这组数据的中位数是3次；

（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3次，
∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3次，
3.3×1200＝3960．
∴该校学生共参加活动约为3960次．
23．【解答】解：（1）由题意可知：袋中共有个球，
则黄球的个数＝4﹣2﹣1＝1；

（2）如下表所示：

红1
红2
黄
蓝
红1
﹣﹣﹣
（红1，红2）
（红1，黄）
（红1，蓝）
红2
（红2，红1）
﹣﹣﹣
（红2，黄）
（红2，蓝）
黄
（黄，红1）
（黄，红2）
﹣﹣﹣
（黄，蓝）
蓝
（蓝，红1）
（蓝，红2）
（蓝，黄）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中不同颜色的情况有10种，
则两次摸到不同颜色球的概率为P＝＝．
24．【解答】解：设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，
根据题意得：﹣＝20，
解得：x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝300．
答：甲公司有300人，乙公司有250人．
25．【解答】解：（1）把A（2，4）代入y＝﹣x+m得﹣2+m＝4，解得m＝6，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+6；
把A（2，4）代入y＝得k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）解方程组得或，
∴B点坐标为（4，2），
当y＝0时，﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴C点坐标为（6，0），
∴S△OBC＝×6×2＝6．
26．【解答】解：（1）∵E（3，0），B（﹣1，1），
观察图象可知，d（点E）＝BE或EC，
∴d（点E）＝＝．

（2）如图1中，

∵当d（线段EF）取最小值，
∴d（线段EF）的最小值＝d（点E）＝，
∴d（点F）≤，
当d（点F）＝时，F（0，3），或F′（0，﹣3），
将F代入y＝kx﹣3k，得k＝﹣1，
将F′代入y＝kx﹣3k，得k＝1，
观察图形可知，满足条件的k的值为：k≤1或k≥﹣1．

（3）如图2中，设直线y＝﹣x+3交x轴于E，交y轴于F．

∵d（点E）＝d（点F）＝＜，
∴点T在第二象限或第四象限，设T（m，﹣m+3），
当T在第二象限，TD＝时，（m﹣1）2+（﹣m+3+1）2＝，
解得m＝或（舍弃），
当T在第四象限，TB＝时，（m+1）2+（﹣m+3﹣1）2＝，
解得m＝或（舍弃），
观察图象可知满足条件的圆心T的横坐标x的取值范围为：x≤或x≥．
27．【解答】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3b+3，解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），
则OB＝OC＝3，故∠OCB＝∠OBC＝45°，
设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
点M的坐标为：（m，0），则点P、Q的坐标分别为：（m，3﹣m）、（m，﹣m2+2m+3），
则PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m；
∵PQ∥y轴，
∴∠OCP＝∠CPQ，
∵∠COP＝∠QCP，
∴△OPC∽△CQP，
∴，即PC2＝OC•PQ，
∴2m2＝3（﹣m2+3m），
解得：m＝0（舍去）或，
故PQ＝﹣m2+3m＝；

（3）∵PQ∥y轴，
∴∠OCP＝∠CPQ，
∵△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，
∴∠QCP＝∠QPC，
∴∠QCP＝∠PCO＝45°，
∴∠OCQ＝90°，即CQ∥x轴，
故点C、Q关于函数对称性直线x＝1对称，故点Q的坐标为：（2，3）；
过点C作直线l，过点M作MH⊥l交于点H，交y轴于点N，则点M、N为所求点，

设直线l与y轴负半轴夹角的正弦值为，即sin∠HCN＝＝sin∠NMO，则tan∠NMO＝，
则NH＝CN，
∴MN+CN＝MN+NH为最小，
∵tan∠NMO＝，
∴设直线MH的表达式为：y＝﹣x+t，
将点M（2，0）的坐标代入上式并解得：t＝，
故点N（0，），
则CN＝OC﹣ON＝3﹣，
∴MN+CN的最小值＝MN+NH＝MN+CN＝+×（3﹣）＝．
28．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，
即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），
∴AB＝＝5；

（2）由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，
tan∠ABO＝＝，则sin∠ABO＝，cos∠ABO＝，
∵BD＝OC＝m，
∴xD＝BDsin∠ABO＝m×＝m，同理yD＝3﹣BDcos∠ABO＝3﹣m，
故点D（m，3﹣m）；
∵点Q是CD的中点，
∴由中点公式得，点Q的坐标为（m，），
∵当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，yQ＝CD＝，
∴CD＝3，
故（m）2+（3﹣m﹣m）2＝9，
解得：m＝；

（3）∵AB与BC交圆Q在直径CD的上方，
∴CD上方的半圆与∠ABO必有第三个交点（设为E），即只有CD下方的半圆可能在∠ABO的内部，
∴∠OCD≥90°，∠ADC≥90°，
∴∠BCD≤90°，∠BDC≤90°，
连接CE、DF，

∵CD是直径，
∴DF⊥OB，CE⊥AB，
∴BE≤BD，BF≤BC，
在Rt△BCE中，BC＝3﹣m，BE＝BCcos∠OBC＝（3﹣m），
①当m≥0时，
BD＝m，BF＝BDcos∠OBC＝m，
∵BE≤BD，BF≤BC，
∴（3﹣m）≤m且m≤3﹣m，
解得：≤m≤；
②当m＜0时，
BD＝﹣m，BF＝﹣m，
∵BE≤BD，BF≤BC，
∴（3﹣m）≤﹣m且﹣m≤3﹣m，
解得：m≤﹣；
综上，≤m≤或m≤﹣．