50，江苏省常州外国语学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份50，江苏省常州外国语学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦的垂直平分线必经过圆心
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．长度相等的弧是等弧
3．（2分）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（ ）
A．4B．6C．8D．16
4．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．m＞3C．m≤3D．m＜3
6．（2分）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ）
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7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，CD＝3，AC＝4，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P在 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”）
10．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，DE＝2，则EF＝ ．
11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝ ．
12．（2分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆半径是 ．
13．（2分）在锐角△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是 ．
14．（2分）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝．若S△ADE＝2，则S△ABC＝ ．
15．（2分）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
16．（2分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．
17．（2分）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是 ．
18．（2分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，点F、G在AB边上，当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是 ．
二、解答题：（19题10分，20题6分，21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27题12分）
19．解方程：
（1）x2﹣3x﹣1＝0．
（2）3（x﹣2）＝x2﹣4．
20．计算：sin30°•tan45°+sin260°﹣2cs60°．
21．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝24，求OP的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8）B（4，4）C（6，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2；
（2）直接写出∠CAB的正弦值为 ；
（3）△ABC的外接圆圆心坐标为 ，△ABC的外接圆半径等于 ．
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠A＝105°，AC＝4．
（1）求BC的长；
（2）若点P是AC中点，求BP的长．
24．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
25．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
26．【了解概念】
在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．
【理解运用】
（1）在邻等四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝60°，若CD是这个邻等四边形的邻等边，则∠C的度数为 ；
（2）如图，凸四边形ABCD中，P为AB边的中点，△ADP∽△PDC，判断四边形ABCD是否为邻等四边形，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，AB为邻等四边形ABCD的邻等边，且AB边与x轴重合，已知A（﹣2，0），C（m，3），D（2，4），若在边AB上使∠DPC＝∠BAD的点P有且仅有1个，则m的值是 ．
27．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证∠DBG＝90；
（2）若BD＝12，DG＝2GE．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
参考答案与解析
一、选择题：（每题2分，共16分）
1．（2分）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，
∴，
∴＝＝，
故选：C．
2．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦的垂直平分线必经过圆心
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．长度相等的弧是等弧
【解答】解：A、弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径垂直这条弦，该选项说法错误，故此选项不符合题意；
D、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．（2分）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（ ）
A．4B．6C．8D．16
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵＝，BC＝2，
∴，
∴EF＝4，
故选：A．
4．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理，得
AB＝＝5．
csA＝＝，
故选：A．
5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．m＞3C．m≤3D．m＜3
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：D．
6．（2分）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ）
A．16B．10C．8D．6
【解答】解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是6，
∴OC⊥AB，
∴AB＝2BC，
在Rt△BOC中，OB＝10，OC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴AB＝2BC＝2×8＝16．
故选：A．
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，CD＝3，AC＝4，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
在Rt△ACD中，CD＝3，AC＝4，
∴cs∠ACD＝＝，
∴cs∠ACD＝csB＝，
故选：C．
8．（2分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故选：C．
二、填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P在 圆上 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”）
【解答】解：∵点P的坐标为（4，3），
∴OP＝，
∵半径为5，
∴点P在⊙O上．
故答案为：圆上．
10．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，DE＝2，则EF＝ 4 ．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得：DF＝6，
∴EF＝DF﹣DE＝6﹣2＝4，
故答案为：4．
11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB＝ 10 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，
∴sinA＝＝＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
12．（2分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆半径是 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为斜边长的一半＝×13＝，
故答案为：．
13．（2分）在锐角△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是 75° ．
【解答】解：根据题意得：sinA﹣＝0，1﹣tanB＝0，
∴sinA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
14．（2分）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝．若S△ADE＝2，则S△ABC＝ 18 ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝，
∵S△ADE＝2，
∴S△ABC＝18，
故答案为：18．
15．（2分）已知关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ﹣4 ．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
根据题意得：1×x2＝﹣4，
解得：x2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．（2分）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 6+6 海里．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．
∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，
∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，
∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，
∴BH＝CH，
在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，
∴CH＝（12+CH），
解得CH＝6（+1）．
答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．
故答案为：6+6．
17．（2分）如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是 ．
【解答】解：如图，过点A作AG⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD沿AE翻折，
∴AB＝AD，AB＝AF，∠ABE＝∠D，
∴AD＝AF，
∴三角形ADF为等腰三角形，
∵AG⊥DF，
∴点G为DF中点，
∵点F为CD中点，
∴AD＝CD＝4DG，
设DG＝a，则AD＝4a，
在Rt△ADG中，AD2＝AG2+DG2，
∴（4a）2＝AG2+a2，
∴AG＝a，
∴tan∠ABE＝tanD＝＝，
故答案为：．
18．（2分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，点F、G在AB边上，当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是 l＝或＜l≤ ．
【解答】解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝15，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD+CD＝AC，
∴x+x＝9，
∴x＝；
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
解得m＝，
∵m＝时，符合条件的菱形不只有一个，
∴m≠；
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴n＝，
综上所述，菱形的边长l的取值范围为l＝或＜l≤．
故答案为：l＝或＜l≤．
二、解答题：（19题10分，20题6分，21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27题12分）
19．解方程：
（1）x2﹣3x﹣1＝0．
（2）3（x﹣2）＝x2﹣4．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）3（x﹣2）＝x2﹣4，
3（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3﹣x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或3﹣x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
20．计算：sin30°•tan45°+sin260°﹣2cs60°．
【解答】解：原式＝×1+（）2﹣2×
＝+﹣1
＝．
21．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝24，求OP的长．
【解答】（1）证明：如图，
∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO＝∠APO．
∵AO∥PE，
∴∠CPO＝∠AOP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴AP＝AO．
（2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图．
根据垂径定理可得AH＝BH＝AB＝12，
∴PH＝PA+AH＝AO+AH＝13+12＝25．
在Rt△AHO中，
OH＝＝＝5，
由勾股定理得：OP＝＝＝＝5．
则OP的长为5．
22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8）B（4，4）C（6，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2；
（2）直接写出∠CAB的正弦值为 ；
（3）△ABC的外接圆圆心坐标为 （5，7） ，△ABC的外接圆半径等于 ．
【解答】解：（1）如图：
△A1B1C1即为所求；
（2）取格点K，连接BK，如图：
由图可得，AB2＝20，AK2＝18，BK2＝2，
∴AB2＝AK2+BK2，
∴∠AKB＝90°，
∴sin∠CAB＝＝＝；
故答案为：；
（3）作AC，BC的垂直平分线交于O，如图：
O即为△ABC的外接圆圆心；
由图可知，△ABC的外接圆圆心O的坐标为（5，7）；
OA＝OB＝OC＝＝；
故答案为：（5，7），．
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠A＝105°，AC＝4．
（1）求BC的长；
（2）若点P是AC中点，求BP的长．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝30°，
在Rt△ACD中，AC＝4，
∴AD＝AC＝2，CD＝AD＝2，
在Rt△ABD中，BD＝＝2，
∴BC＝BD+CD＝2+2，
∴BC的长为2+2；
（2）过点P作PE⊥BC，垂足为E，
∵点P是AC中点，
∴CP＝AC＝2，
在Rt△EPC中，∠C＝30°，
∴PE＝CP＝1，CE＝PE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝2+2﹣＝2+，
在Rt△BEP中，BP＝＝＝＝＝＝+，
∴BP的长为+．
24．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【解答】解：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），
根据题意得：2××（8﹣2x）＝56，
整理得：3x2﹣32x+52＝0，
解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽为2米．
25．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cs∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．
∴OD＝2≈4.5m．
26．【了解概念】
在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．
【理解运用】
（1）在邻等四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝60°，若CD是这个邻等四边形的邻等边，则∠C的度数为 130° ；
（2）如图，凸四边形ABCD中，P为AB边的中点，△ADP∽△PDC，判断四边形ABCD是否为邻等四边形，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，AB为邻等四边形ABCD的邻等边，且AB边与x轴重合，已知A（﹣2，0），C（m，3），D（2，4），若在边AB上使∠DPC＝∠BAD的点P有且仅有1个，则m的值是 ﹣5± ．
【解答】解：（1）∵CD为邻等边，
∴∠C＝∠D，
又∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠C＝∠D＝（360°﹣∠A﹣∠B）÷2＝130°，
∴∠C＝130°．
故答案为：130°；
（2）四边形ABCD是邻等四边形，
理由如下：∵△ADP∽△PDC，
∴，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，
又∵P为AB的中点，
∴AP＝BP，
∴，
∴，
∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，
且∠APD＝∠PCD，
∴∠BPC＝∠PDC，
∵∠ADP＝∠PDC，
∴∠ADP＝∠BPC，
∴△BPC∽△ADP，
∴∠B＝∠A，
∴四边形ABCD为邻等四边形；
（3）若点B在点A右侧，如图，
∵AB为邻等边，则有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，
又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，
∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，
∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴＝，
设点P（n，0），
∵A（﹣2，0），D（2，4），
∴∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝45°，
过点C作CE⊥x轴于点E，
则∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，
∴CE＝BE，
∵点C（m，3），
∴CE＝3，
∴BE＝3，
∴B（m+3，0），
∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，
∴AD＝＝，BC＝＝，
代入＝得：，
整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，
由题意可知n只有一个解，
∴Δ＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，
解得：m＝﹣5±4，
又∵点C在点D右侧，
∴m＝﹣5+4；
②若点B在点A左侧，如图，
此时，∵A（﹣2，0），D（2，4），
∴∠OAD＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，
∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，
∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，
∴ADP＝∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴＝，
由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），
AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝，BC＝，
∴，
解得：m＝﹣5±4，
又∵点C在点D左侧，
∴m＝﹣5﹣4；
综上所述：m＝﹣5±4．
故答案为：﹣5±4．
27．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证∠DBG＝90；
（2）若BD＝12，DG＝2GE．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，
∵∠CBG＝∠EBG＝∠EBC，
∴∠DBG＝∠CBD+∠CBG＝（∠ABC+∠EBC）＝×180°＝90°．
（2）解：①如图2，连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB＝90°，
∵AB＝10，BD＝12，
∴BK＝DK＝BD＝6，
∴AK＝＝8，
∴CK＝AK＝8，
∴AC＝16，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96；
②∵∠DKL＝∠DBG＝90°，
∴AC∥BG，
∴＝＝1，
∴DL＝GL＝DG，
∵DG＝2GE，
∴GE＝DG，
∴DL＝GL＝GE，
∵CD∥AB，
∴＝＝，
∴CL＝AC＝×16＝，
∴KL＝8﹣＝，
∴tan∠BDE＝＝＝；
（3）解：如图3，过点G作GT∥BC，交AE于点T，则GT为定值，
理由：连结AC交BD于点K，交DE于点L，
∵∠DKL＝∠DBG＝90°，
∴当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，
∴△BGE∽△ALE，
∵BE＝AB，
∴＝＝1，
∴EG＝LG，
∵KL∥BG，
∴＝＝1，
∴DL＝LG＝EG＝ED，
∵AD∥BC，
∴GT∥AD，
∴△ETG∽△EAD，
∴＝＝＝，
∵BE＝AB＝DA＝10，
∴GT＝DA＝×10＝，
∴GT为定值；
∵EA＝BE+AB＝20，
∴ET＝EA＝×20＝．