2020届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学（文）试题（解析版）

2020届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数（其中，为虚数单位），若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】分析：先化简复数，根据的共轭复数的虚部为求出复数，再根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置．

详解：由题意得，

∴ ，

又复数的共轭复数的虚部为，

∴，解得．

∴，

∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．

故选A．

点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根据复数的共轭复数的虚部为求得实数，由此得到复数，然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限．

2．已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（    ） 

A． B．或 C． D．

【答案】D

【解析】 ,所以阴影部分所表示的集合为 ,选D.

3．已知，则“”是“函数的图象恒在轴上方”的(  )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】D

【解析】分别研究由“”推出“函数的图象恒在轴上方”和由“函数的图象恒在轴上方”推出“”，得到答案.

【详解】

当时，

函数图象与轴没有交点，

当时，图像恒在轴下方，所以是不充分条件；

当函数的图象恒在轴上方，

取，满足要求，此时，

因此不一定能得到，所以是不必要条件；

故选D项.

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判断，二次函数的图像问题，属于简单题.

4．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出的结果为（      ）

A．53 B．54 C．158 D．263

【答案】A

【解析】按程序框图知的初值为，代入循环结构，第一次循环，第二次循环，推出循环， 的输出值为 ，故选A.

5．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的体积为，斗的密度是.那么这个斗的质量是（   ）注：台体体积公式是.

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据台体的体积公式求得台体体积,再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积,然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量.

【详解】

根据棱台的体积公式可得棱台的体积为 ,

所以这个斗的质量为,

所以这个斗的质量为.

故选:C.

【点睛】

本题考查了棱台的体积公式,属于基础题.

6．在中，，则的形状是 (  )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【解析】由余弦定理可知，与已知条件相加，得到的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到，从而得到的大小，判断出的形状，得到答案.

【详解】

由余弦定理可知，

两式相加，得到

所以，当且仅当时，等号成立，

而

所以，

因为，所以

所以，即，又，

所以是等边三角形，

故选D项.

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.

7．已知双曲线的左、右顶点分别为，，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

由题意知等腰中，，设，则，其中必为锐角．

∵外接圆的半径为，

∴，

∴，，

∴．

设点P的坐标为，则，

故点P的坐标为．

由点P在双曲线上得，整理得，

∴．选C．

点睛：

本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．

8．已知，设函数的零点为m，的零点为n，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数之间的关系求出m,n之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解.

【详解】

函数的零点为函数与图像的交点A的横坐标，函数的零点为函数与图像的交点B的横坐标

由于指数函数与对数函数互为反函数，

其图像关于对称，

直线与垂直

故两直线的交点即是A，B的中点，

当且仅当：时等号成立

而，故

故选：A

【点睛】

本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

9．已知函数，若，则实数的取值范围是(  )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】构造函数，证明是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数相关形式，利用的性质，解出不等式，得到答案.

【详解】

因为

设，定义域

，所以为奇函数，

，

所以单调递增，

不等式

解得

故选C项.

【点睛】

本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.

10．在中，，，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由题意转化，利用数量积的分配律即得解.

【详解】

，，

故选：C

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

11．在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知得平面，因此当时，直线AQ与平面PBC所成角最大，此时可求得，从而求得，又以为棱的长方体的对角线就是三棱锥外接球直径，从而可求得其表面积．

【详解】

∵PA与PB、PC垂直，∴平面，

∴是在平面内的射影，就是直线与平面所成的角，

由平面得，，要使最大，则最小，

显然当时，最小，此时，

又，∴，而，∴，

由，得，从而，

如图，以为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，外接球直径等于长方体的对角线长，

∴球表面积为．

故选：A．

【点睛】

本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解．

12．已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】利用导数判断的单调性和极值，得出方程的根分布情况，从而得出方程恰有四个不同的实数根等价于关于的方程在上有一个解，在上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出的范围.

【详解】

，

令，解得或，

当或时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值，

作出的大致函数图象如图所示，

令，则当或时，关于的方程只有一个解；

当时，关于的方程有两个解；

当时，关于的方程有三个解，

恰有四个零点，

关于的方程在上有一个解，

在上有一个解，

显然不是方程的解，

关于的方程在和上各有一个解，

，解得，

即实数的取值范围是，故选B.

【点睛】

已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .

13．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）

A．ab有最小值 B．有最小值

C．有最小值4 D．有最小值

【答案】C

【解析】可结合基本不等式性质对四个选项一一证明；对应是积有最大值；对B变形为，再结合基本不等式求解；对C，先通分，再结合基本不等式求值；对D，可变形为，再结合基本不等式求值

【详解】

，，且；；；

有最大值，选项A错误；

，，

即有最大值，B项错误

，有最小值4，C正确；

， 的最小值是，不是，D错误．

故选：C

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式及其相关变形式，以及等式成立的条件，是正确解题的关键，属于中档题

二、填空题

14．是定义域为的偶函数，对，都有，当时，，则________.

【答案】

【解析】先由已知等式和偶函数推出周期为4,再根据偶函数性质和周期可求得答案.

【详解】

因为是定义域为的偶函数,所以 ,所以周期,

所以,

,

所以.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关键,本题属于中档题.

15．在中，为的中点，与互为余角，，，则的值为__________．

【答案】或

【解析】设,则由+可知, 为的中点，,即,由正弦定理得或,当A=B时,AC=BC, ,当时, ,在△ACD中, ,综上可得,的值为或.

16．如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，设正三角形的边长为（记为），.数列的通项公式=______.

【答案】

【解析】先得出直线的方程为，与曲线的方程联立得出的坐标，可得出，

并设，根据题中条件找出数列的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列的通项公式，即利用求出数列的通项公式。

【详解】

设数列的前项和为，则点的坐标为，

易知直线的方程为，

与曲线的方程联立，解得，；

当时，点、，所以，点，

直线的斜率为，则，即，

等式两边平方并整理得，可得，

以上两式相减得，即，

易知，所以，即，

所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，.

故答案为：。

【点睛】

本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能力，属于难题。

三、解答题

17．设是等差数列，公差为，前项和为.

（1）设，，求的最大值.

（2）设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.

【答案】（1）2020（2）

【解析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；

（2）由题意可得数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d＝0，d＞0，d＜0，判断数列{bn}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．

【详解】

（1）a1＝40，a6＝38，可得d，

可得Sn＝40nn（n﹣1）（n）2，

由n为正整数，可得n＝100或101时，Sn取得最大值2020；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，

可得an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，

若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；

当d＜0时，Tn，

对任意的n∈N，都有Tn≤20，可得20，且d＜0，

解得d≤．

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．

18．如图，三棱柱的所有棱长都是2，面，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）推导出，从而平面平面，进而平面，，再求出，由此能证明平面．
（2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法，构造法等，其中割补法较为方便，将转化为，即可求解.

【详解】

解：（1）∵，是的中点，

∴，

∵三棱柱中平面，

∴平面平面，且平面平面，

∴平面，

∵平面，

∴.

又∵在正方形中，，分别是，的中点，

∴，

又，

∴平面.

（2）解法一（割补法）：

.

解法二（利用平行顶点轮换）：

∵，

∴，

∴

.

解法三（利用对称顶点轮换）：

连结，交于点，

∵为的中点，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离.

∴

.

解法四（构造法）：

连结，交于点，则为的中点，再连结.

由题意知在中，，，所以，且，

又，，所以，所以，

又，

∴面，

∴.

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．

19．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：

根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：

表中，．

（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；

（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

【答案】（1）；（2），.

【解析】(1)根据公式计算出和,可得;

(2)根据可得,再根据函数为增函数可得答案.

【详解】

（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．

，

所以，

故关于的线性回归方程为．

（2）由（1）可得，

于是产卵数关于温度的回归方程为,

当时，；

当时，；

因为函数为增函数，

所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．

【点睛】

本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.

20．设椭圆，过点的直线分别交于相异的两点，直线恒过点．

（1）证明：直线的斜率之和为；

（2）设直线分别与轴交于两点，点，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）1

【解析】（1）设直线为,与椭圆方程联立可得,利用韦达定理得到的关系,由斜率公式可得,将,代入,进而即可得证；

（2）设直线为,令,可求得,同理,进而求解即可

【详解】

（1）证明:设直线为,

联立,得,

且,可得;,

设,

由韦达定理可得,,

设直线、的斜率分别为,

所以,

所以直线的斜率之和为

（2）设,

因为直线为,令,得,即,

同理,即,

因为,

所以

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题

21．已知函数，其中为常数.

（1）若时，求函数在点处的切线方程；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）2x-y+1=0；（2）.

【解析】【详解】试题分析：（1）求导得斜率，进而由点斜式得直线方程；

（2）令，由题得在恒成立，求导根据导数判断单调性求最值即可.

试题解析：

（1），，，又因为切点（0,1）

所以切线为2x-y+1=0

(2) 令，由题得在恒成立， ，所以

①若，则时，所以函数在上递增，所以

   则，得

②若，则当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，所以，又因为，所以不合题意.

综合得.

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；

（3）若 恒成立，可转化为 .

22．选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.

【答案】（1）曲线的极坐标方程为（2）

【解析】【详解】试题分析：（I）曲线C的参数方程为，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．

（II）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）代入曲线C'的直角坐标方程可得，利用根与系数的关系即可得出．

试题解析：

（Ⅰ），

将，代入的普通方程可得，

即，所以曲线的极坐标方程为

（Ⅱ）点的直角坐标是，将的参数方程（为参数）

代入，可得，

∴t1+t2，t1•t2，

所以．

23．设函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)当时，恒成立，求的最小值．

【答案】（1）（2）最小值为3

【解析】（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；

（2）当时，恒成立，即恒成立，数形结合求解.

【详解】

解(1)当时，不等式化为

，或，或

综上，原不等式的解集为

(2)时，

作与的图像，

可知

的最小值为3(这时)

【点睛】

零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.