2020届湖南省岳阳市第一中学高三上学期第一次质量检测数学（理）试题（解析版）

2020届湖南省岳阳市第一中学高三上学期第一次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则等于( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.

2．设复数，，则在复平面内对应的点在

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】D

【解析】试题解析：

在复平面内对应的点，故在第四象限

【考点】本题考查复数几何意义

点评：解决本题的关键是理解复数的几何意义

3．已知向量，，若∥，则等于( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】【详解】

∥

∴

选A.

4．“”是“函数在定义域内是增函数”的（    ）

A．必要条件

B．充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先将结论化简，再结合范围大小关系确定充分条件和必要条件

【详解】

函数在定义域内是增函数即或，故“”是“或”的充分不必要条件

故选：B

【点睛】

本题考查命题充分和必要条件的判断，将结论作等价转化是关键，属于基础题

5．设随机变量，且，则实数a的值为　　

A．10 B．8 C．6 D．4

【答案】D

【解析】根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于对称，从而得到结果．

【详解】

随机变量，

正态曲线关于对称，

，

与关于对称，，

解得，故选D．

【点睛】

本题主要考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，是一个基础题．正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，.

6．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：连接AC，交BD于O，连接VO

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，O为BD的中点，又∵正四棱锥V-ABCD中，VB=VD

∴VO⊥BD∵AC∩VO=O，AC、VO⊂平面ACV∴BD⊥平面ACV∵VA⊂平面ACV∴BD⊥VA

即异面直线VA与BD所成角等于

【考点】异面直线所成角

7．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为.

所以点M取自E内的概率为.

8．己知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【解析】由已知可分析出函数是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故在上所有的零点的和为，则函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和，求出上所有零点，可得答案．

【详解】

解：函数是定义在上的奇函数，．

又函数，

，

函数是偶函数，

函数的零点都是以相反数的形式成对出现的．

函数在上所有的零点的和为，

函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和．

由时，，

即

函数在上的值域为，当且仅当时，

又当时，

函数在上的值域为，

函数在上的值域为，

函数在上的值域为，当且仅当时，，

函数在上的值域为，当且仅当时，，

故在上恒成立，在上无零点，

同理在上无零点，

依此类推，函数在无零点，

综上函数在上的所有零点之和为8

故选：．

【点睛】

本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．

二、填空题

9．在极坐标系中，直线经过圆的圆心且与直线平行，则直线与极轴的交点的极坐标为_________．

【答案】(1,0)

【解析】由可知此圆的圆心为(1,0),直线是与极轴垂直的直线，所以所求直线的极坐标方程为,所以直线与极轴的交点的极坐标为(1,0).

10．假设存在实数满足，那么实数的取值范围为___________.

【答案】（-3，7）

【解析】结合绝对值三角不等式将，进而求解

【详解】

，即

故答案为：

【点睛】

本题考查绝对值三角不等式的应用，应该熟记：，属于基础题

11．如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，于点，若圆的面积为，，则的长为     ．

【答案】1

【解析】∵CD是圆O的切线，∴∠ABC=∠ACD=30°，∴在直角三角形ACD中，AD=1，∴AC=2，

∴在直角三角形ABC中，AC=2，∴AB=4，∴圆的半径是2，所以,

所以.

12．的二项展开式中，常数项的值是      .

【答案】10

【解析】展开式是常数项，此常数项的值为

.

13．程序框图如图，那么输出的=_____

【答案】9

【解析】依次进行循环语句的运算，当满足时输出对应的即可

【详解】

由题可知，，

第一次循环：；

第二次循环：；

第三次循环：，此时，输出

故答案为：9

【点睛】

本题考查循序框图中输出值的计算，正确书写循环语句和计算，并准确判断输出条件是解题的关键，属于基础题

14．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+5y的最大值为_____．

【答案】17

【解析】先画出可行域，作出目标函数的平行直线，确定z与目标函数的纵截距之间的关系，从而平移目标函数确定最优解即可算出最大值.

【详解】

画出可行域如图所示的△ABC的内部（包括边界）：

由z＝3x+5y可得y，则z为直线y在y轴上的截距，

作直线L：3x+5y＝0，把直线L向上平移到A时z最大，向下平移到B时z最小，

由可得A()，此时z的最大值为17，

由可得B(﹣2,﹣1)，此时z的最小值为﹣11.

故答案为：17.

【点睛】

本题考查线性规划问题，正确画出可行域并确定z与目标函数的纵截距之间的关系是解决本题的关键，属中档题.

15．抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，那么双曲线的离心率为______

【答案】

【解析】先画出图形，求出点，再结合焦点三角形的几何关系进行求解即可

【详解】

因为双曲线和抛物线有共同焦点，所以将点代入抛物线解得，，又且，结合勾股定理解得，

离心率

故答案为：

【点睛】

本题考查曲线交点的求解，焦点三角形与离心率的关系，可当作结论进行记忆：若曲线是椭圆，是椭圆上的点，则有；若是双曲线，则有，属于基础题

16．数列令表示集合中元素个数.

（1）假设1，3，5，7，9，那么=____________________；

（2）假设（为常数），那么=____________________；

【答案】7       

【解析】（1）根据题意写出所有,中的元素即可；

（2）需要进行分类讨论，和两种情况，结合等差数列性质即可求解；

【详解】

（1）当1，3，5，7，9，有5个数时，，故；

（2）当时，说明数列是常数列，则，为常数，则，故；

当时，假设数列首项为1，公差为1，则，，，利用类比推理可得，假设（为常数），那么；

综上所述，

【点睛】

本题考查数列与集合新定义结合的理解，学会利用数列研究集合中元素性质是关键，本题中采用的类比推理法，从特殊到一般，在处理复杂问题时，值得借鉴，属于中档题

三、解答题

17．（本小题满分12分）如图，在中，点在边上，，，．

（1）求的值；

（2）求的长．

【答案】（1）;（2）25

【解析】试题解析：（1）因为

所以

因为

所以

因为

所以

（2）在△ABD中，由正弦定理，得

所以

【考点】本题考查解三角形

点评：解决本题的关键是找出角与角的位置关系

18．数列的前项和为，且.

（1）试求的通项公式；

（2）假设数列满足：，试求的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）再写出一项，采用作差法，即可求解；

（2）数列为差比数列，结合错位相减法即可求解；

【详解】

（1）①，再写一项：②，①-②可得

，，显然也能取到，故为等比数列，公比为，当时，，故；

（2），③；

同乘公比2，可得④；

③-④式得，化简得

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求法，错位相减法求前项和，属于中档题

19．

如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；

（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求证BE⊥DP;

（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求该多面体的体积.

【答案】（1）、（2）见解析；（3）.

【解析】【详解】

（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，

∵F,O分别为BP，PC的中点，

∴∥BC，且,

又ABCD为平行四边形,∥BC，且,

∴∥ED，且

∴四边形EFOD是平行四边形

即EF∥DO又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC．

（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，

又AD⊥平面PDC∴AD⊥DP,

∴PD⊥平面ABCD,

∵BE平面ABCD，

∴BE⊥DP

（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，

所以三棱锥与三棱锥体积相等，

即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.

∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4

又∠CDP＝120°PC=2，

由余弦定理并整理得, 解得DC=2

∴三棱锥的体积

∴该五面体的体积为

20．

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为，求的分布列及数学期望.

【答案】（Ⅰ）见解析；；（2）见解析； .

【解析】（Ⅰ）根据各组频率之和为1可算出上的频率，从而可补全频率分布直方图，从频率分布直方图中可以得到上的频率，从而得到相应的人数.

（Ⅱ）利用超几何分布的计算公式可得的分布列及数学期望

【详解】

（Ⅰ）上的频率为，故对应的矩形的高为，补全后的频率分布直方图如图所示：

上的频率为，

从而得到年龄在岁的人数为人.

（Ⅱ）低于岁的频率为，故20人中共有人低于于岁.

故，，

，所以的分布列为：

.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用以及超几何分布的应用，属于基础题.

21．设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，假设（其中为坐标原点）

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值

【答案】（1）（2）11

【解析】（1）先求出坐标，再由，联立求解，即可求得，进而求得标准方程；

（2）解法不唯一，可采用方法1中的向量法进行转化；也可采用方法2，纯代数运算，分别表示出点，其中的中点坐标为，可得，再表示出的坐标表达式，结合二次函数最值可求解；还可采用分类讨论直线斜率是否存在的方法，求出直线与圆的点坐标，再结合的坐标运算及二次函数性质即可求解；

【详解】

（1）由题设知，，，由，得解得、因此椭圆的方程为；

（2）方法1：设圆的圆心为，

那么，

从而求的最大值转化为求的最大值，

因为是椭圆上的任意一点，设，因此，即，

因为，因此，

因为，因此当时，取得最大值12，

因此的最大值为11；

方法2：设点，

因为的中点坐标为，因此

因此，

，

，

，

因为点在圆上，因此，即，

因为点在椭圆上，因此，即，

因此，

因为，因此当时，；

方法3：①假设直线的斜率存在，设的方程为，

由，解得，

因为是椭圆上的任一点，设点，

因此，即，

因此，

因此，

因为，因此当时，取得最大值11；

②假设直线的斜率不存在，则的方程为，

由，解得或，

不妨设，，，

因为是椭圆上的任一点，设点，

因此，即，

因此，，

因此，

因为，因此当时，取得最大值11，

综上可知，的最大值为11

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求法，由过圆心的两个对称点和椭圆上的动点求解向量的数量积的最值，对比运算过程我们不难发现，解析几何中，重视思维的转化相比于纯代数运算要更具有优越性，应强化这种解题意识，本题第二问重在考查思维转化能力和代数运算能力，属于中档题

22．已知函数（）．

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．

【答案】（1）0；（2）；（3）0.

【解析】(1)根据建立关于a的方程求出a的值.

(2)本小题实质是在区间上恒成立，

进一步转化为在区间上恒成立,

然后再讨论a=0和两种情况研究.

(2)时，方程可化为，,

问题转化为在上有解，

利用导数研究g(x)的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.

【详解】

（1）．

因为为的极值点，所以．

即，解得．

又当时，，从而的极值点成立．

（2）因为在区间上为增函数，

所以在区间上恒成立．

①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故,符合题意．

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以对

上恒成立．

令，其对称轴为，

因为所以，从而上恒成立，只要即可，

因为，

解得．因为，所以．

综上所述，的取值范围为．

（3）若时，方程可化为，．

问题转化为在上有解，

即求函数的值域．

因为，令，

则，

所以当时，，从而在上为增函数，

当时，，从而在上为减函数，

因此．

而，故，

因此当时，取得最大值0．