2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题（解析版）
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文 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集是实数集，或，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“，”的否定是，
B．命题“设，，若，则或”是一个假命题
C．“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件
D．向量，，则在方向上的投影为
4．在中，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数，满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，
若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．当时，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
10．在区域内任取一点，满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．设是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．二项式的展开式中常数项为_________．所有项的系数和为_________．
14．设向量，，则向量与向量的夹角为_______．
15．已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为_______．
16．在中，角，，的对边分别为，，，若，
是锐角，且，，则的面积为 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等比数列的前项和为，且对一切正整数恒成立．
（1）求和数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）如图，在多面体中，已知，,，，，平面平面，为的中点，连接．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19．（12分）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：
（1）如果在测试中掉线次数超过次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？
（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的个地区中任选个作为游戏推广，
求，两地区至少选到一个的概率．
参考公式：．
20．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若与直线平行的直线交椭圆于，两点，当时，求的面积．
21．（12分）已知函数．
（1）若，求的单调区间．
（2）证明：①；
②对任意，对恒成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，为常数）．以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与圆有两个公共点，求实数的取值范围．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数，其中．
（1）当，求等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的值．
2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷
文科数学答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由于或，所以，，
所以．
2．【答案】C
【解析】．
3．【答案】C
【解析】“，”的否定是“，”，A错误；
B选项命题的逆否命题为：“若，，则”为真命题，B错误；
为幂函数时，，可判断C正确；
在方向上的投影为，D错误，
故选C．
4．【答案】C
【解析】，
∴．
5．【答案】B
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示，
其为阴影部分的三角区，
解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为，，，
根据三角形的面积公式可以求得．
6．【答案】C
【解析】∵，∴为奇函数，D不对，
在上的零点为，，A不对，
又，B不对．
7．【答案】D
【解析】不妨设，则，
又，解得，，
则是的最小内角为，
所以，
所以，
化简得，解得．
8．【答案】D
【解析】根据，得到，而，
所以根据对数函数的单调性可知时，，
从而可得，函数单调递增，所以，
而，所以有，故选D．
9．【答案】A
【解析】由图知，
点是五点作图的第二个点，则，
∴，
易知与的最小正周期相同，均为．
10．【答案】C
【解析】如图，曲线的轨迹是以为圆心，为半径的上半圆，
由几何概型得．
11．【答案】D
【解析】是偶函数且大于，，
则为上的奇函数和增函数，
，则．
12．【答案】B
【解析】关于的不等式在区间上恒成立关于的不等式在区间上恒成立．
显然当时，关于的不等式在区间上恒成立．
当时，在同一坐标系内分别作出，的图象，
所以关于的不等式在区间上恒成立点的位置不低于点的位置．
综上，实数的取值范围为．故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】；
【解析】展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中的常数项为，
令，得到所有项的系数和为，得到结果．
14．【答案】
【解析】，，．
15．【答案】
【解析】令，由，得或，
再由，解得，，
由，解得，
即函数的所有零点所构成的集合为．
16．【答案】
【解析】由，得，，，
所以或，
又，所以，即，
所以，，，
，．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）当时，，与两式相减得．
∵数列是等比数列，∴公比，．
又∵，∴，∴．
（2）∵由，得，
∴．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：过作于．
因为，所以，
因为，，所以，
因为，所以，
所以四边形为矩形，所以，，
取的中点为，连接，．
因为为的中点，所以，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面．
所以平面．
（2）因为平面平面，，所以平面．
因为平面，所以平面平面，
因为，，所以，
因为，，所以，
因为平面平面，
平面，所以平面，
因为四边形为平行四边形，
所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
等于三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积．
19．【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】（1）根据题意列出列联表如下：
，
在犯错误的概率不超过的前提下，不能说明网络状况与网络的类型有关．
（2）依题意，在上述接受测试的电信的个地区中任选个作为游戏推广，其所有的可能有，，，，，，，，，，
其中满足条件的为，，，，，，，
故所求概率．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设椭圆的方程为，
由题意可得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）直线的方程为，
设直线的方程为，，，
将直线的方程代入椭圆的方程并整理得，
由，得，，
由，得，
，
得，
又，
到直线的距离，
所以．
21．【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）①证明见解析；②证明见解析．
【解析】（1）若，，
令，得或，则的单调递增区间为，，令，得，则的单调递减区间为．
（2）①设，则，
令，得；令，得，
故，从而，即．
②当时，由①知，，则，
若，则，
当时，，则当时，，故对任意，对恒成立．
22．【答案】（1）：，：；（2）．
【解析】（1）圆的普通方程为，
将直线的极坐标方程化为，
即，化简得．
（2）∵圆的普通方程为，圆的圆心为，半径为，
∴圆心到直线的距离，
∵直线与圆有两个公共点，∴，解得，
∴的取值范围为．
23．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当时，可化为，由此可得或，
故不等式的解集为或．
（2）由，得，
此不等式化为不等式组为或，即或，
因为，所以不等式组的解集为，
由题设可得，故．
