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    2020届湖南名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

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    2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷

    理 科

    注意事项:

    1答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

    2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

    3非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

    4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

    1.已知集合,则   

    A B C D

    2.若复数满足为虚数单位),则为(   

    A B C D

    3即空气质量指数,越小,表明空气质量越好,当不大于时称空气质量为优良,如图是某市日到的统计数据,则下列叙述正确的是(   

    A.这天的的中位数是

    B天中超过天空气质量为优良

    C.从日到日,空气质量越来越好

    D.这天的的平均值为

    4.已知平面向量,若,则   

    A B C D

    5.某围棋俱乐部有队员人,其中女队员人,现随机选派人参加围棋比赛,则选出的人中有女队员的概率为(   

    A B C D

    6已知表示两条不同的直线,表示平面下列说法正确的是(   

    A.若,则 B.若,则

    C.若,则 D.若,则

    7函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象

    关于原点对称,则等于(   

    A B C D

    8下图是某实心机械零件的三视图,则该机械零件的表面积为(   

    A B C D

    9.函数的图象大致是(   

    A B

    C D

    10.正三角形的边长为,将它沿高折叠,使点与点间的距离为

    则四面体外接球的表面积为(   

    A B C D

    11.有如下命题:函数的图象恰有三个交点;函数的图象恰有一个交点;函数的图象恰有两个交点;函数的图象恰有三个交点,其中真命题的个数为(  

    A B C D

    12若函数的图象关于点对称,分别是

    极大值点与极小值点,则   

    A B C D

     

    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

    13.在中,若,则_____

    14.如图,圆(圆心为)的一条弦的长为,则_____

    15.在的展开式中,项的系数为________(结果用数值表示).

    16.定义在正实数上的函数,其中表示不小于的最小整数,如,当时,函数的值域为,记集合中元素的个数为,则________

    三、解答题:本大题6大题,共70解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17.(12分)如图,在平面四边形中,,设

    1)若,求的长度;

    2)若,求

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    18.(12分)为了解全市统考情况,从所有参加考试的考生中抽取名考生的成绩,频率分布直方图如下图所示.

    1)求这名考生的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表);

    2)由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布,其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差,那么抽取的名考生成绩超过分(含分)的人数估计有多少人?

    3)如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况,现从全市考生中随机抽取名考生,记成绩不超过分的考生人数为,求.(精确到

    附:

    ,则

     

     

     

     

     

    19.(12分)如图,三棱柱中,分别为棱的中点.

    1)在上确定点,使平面,并说明理由;

    2)若侧面侧面,求直线与平面所成角的正弦值.

     

     

     

     

     

     

    20.(12分)已知两直线方程,点上运动,点上运动,且线段的长为定值

    1)求线段的中点的轨迹方程;

    2)设直线与点的轨迹相交于两点,为坐标原点,

    ,求原点到直线的距离的取值范围.

     

     

     

     

    21.(12分)已知函数

    1)求的单调区间;

    2)若存在,使得,求证:

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    请考生在2223两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分

    22.(10分)【选修4-4坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),直线的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

    1)求曲线的极坐标方程;

    2)若直线与曲线交于两点,求的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    23.(10分)【选修4-5不等式选讲

    已知函数

    1)当时,求不等式的解集;

    2)若,使得,求实数的取值范围.

     

     

     

     

     

     


    2020届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷

    理科数学答 案

    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

    1【答案】A

    【解析】

    2【答案】A

    【解析】为虚数单位),

    ,解得,则

    3【答案】C

    【解析】天的指数值的中位数是,故A不正确;

    天中,空气质量为优良的有天,故B不正确;

    日到日,空气质量越来越好,故C正确;

    天的指数值的平均值约为,故D不正确.

    4【答案】B

    【解析】,解得

    5【答案】D

    【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派人参加围棋比赛的方法有种,

    而选出的人中没有女队员的方法有种,

    结合古典概型计算公式可得:选出的人中有女队员的概率为

    6【答案】B

    【解析】A.若,则相交或平行或异面,故A错;

    B.若,由线面垂直的性质定理可知,故B正确;

    C.若,则,故C错;

    D.若,则,故D错.

    7【答案】D

    【解析】函数的图象向左平移个单位后,

    得到的图象,

    由于平移后的图象关于原点对称,故

    ,由,得

    8【答案】B

    【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱,

    其中长方体的长宽高分别为 ,圆柱的底面半径为,圆柱的高为

    据此可得,组合体的表面积

    9【答案】B

    【解析】,知函数过原点,故排除D

    代入,得,排除C

    代入,排除A

    10【答案】B

    【解析】根据题意可知四面体的三条侧棱

    底面是等腰

    它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球,

    求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点的距离,就是球的半径,

    三棱柱中,底面

    的外接圆的半径为

    由题意可得:球心到底面的距离为

    球的半径为,外接球的表面积为

    11【答案】C

    【解析】,则,即函数为减函数,

    ,函数是奇函数,

    函数只有一个零点,即函数的图象恰有一个交点,故错误,

    知当时,;当时,

    时,;当时,

    故函数的图象恰有一个交点,故正确,

    作出函数的图象,由图象知两个函数有个交点,即函数的图象恰有两个交点,故正确,

    作出函数的图象,由图象知两个函数有个交点,即函数的图象恰有三个交点,故正确.

    12【答案】C

    【解析】由题意可得

    函数图象关于点对称,且,故

    据此可得,解得

    故函数的解析式为

    结合题意可知:是方程的两个实数根,且

     

    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

    13【答案】

    【解析】由余弦定理得,解得(舍去).

    14【答案】

    【解析】过点,则的中点,

    15【答案】

    【解析】由于

    据此结合排列组合的性质可得项的系数为

    16【答案】

    【解析】易知:当时,因为,所以

    所以,所以

    时,当,则,所以

    所以

    时,当,则,所以

    时,当,则,所以

    所以

    时,当,则,所以

    所以

    由此类推:

     

    三、解答题:本大题6大题,共70解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17【答案】1;(2

    【解析】1)由题意可知,

    中,

    由余弦定理可知,

    2)由题意可知,

    中,由正弦定理可知,

    18【答案】12)约6353

    【解析】1)由题意知:

    名考生的竞赛平均成绩分.

    2)依题意服从正态分布,其中服从正态分布

    竞赛成绩超过分(含分)的人数估计为人.

    3)全市竞赛考生成绩不超过分的概率

    19【答案】1)详见解析;(2

    【解析】1)取中点,连结

    中,取中点,连接,则

    延长交于点,则即为所求点,

    为平行四边形,点为中点,则

    由线面平行的判定定理可得平面

    同理可得,平面

    据此可得平面平面,故平面

    2)作平面,与延长线交于

    ,则直线与平面所成角即直线与平面所成角,

    到平面的距离为,则

    直线与平面所成角的正弦值为

    20【答案】1;(2

    【解析】1上运动,点上运动,

    线段的中点,则有

    线段的长为定值

    ,化简得

    线段的中点的轨迹方程为

    2)设,联立

    化简得,则

    ,则,即

    所以

    ,化简得

    ①②

    因为到直线的距离,所以

    又因为,所以

    所以到直线的距离的取值范围是

    21【答案】1)函数上单调递增;(2)证明见解析

    【解析】1

    ,则,解得

    时,函数取得极小值即最小值,

    函数上单调递增.

    2)由(1)可得:函数上单调递增.

    要证明:

    ,因此

    ,则

    上单调递增.

    函数上单调递增.

    ,因此结论成立.

    22【答案】1;(2

    【解析】1)曲线的普通方程为

    的极坐标方程为

    2)设

    代入,得

    所以,所以

    23【答案】1;(2

    【解析】1)当时,

    解得,所以原不等式的解集为

    2对任意恒成立,对实数有解.

    根据分段函数的单调性可知:时,取得最大值

    ,即的最大值为

    所以问题转化为,解得

     

     

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