2020届江苏省扬州市江都中学高三上学期数学第一次学情调研试题（解析版）

2020届江苏省扬州市江都中学高三上学期数学第一次学情调研试题

一、填空题

1．已知集合，则_______．

【答案】

【解析】根据集合的交集运算进行求解

【详解】

公共元素为2,4，所以

【点睛】

此题相对简单，需注意交集取公共元素，并集全部都取，补集取相反部分的总体原则

2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应点的坐标是______．

【答案】

【解析】通过对式子的除法运算进行化简即可

【详解】

，对应的复平面的点坐标为

故答案为：

【点睛】

复数的除法运算中应熟记，公式在化简时，分母没必要再拆项

3．已知5个正整数，它们的平均数是4，众数是，则这5个数的方差为______．

【答案】

【解析】通过分析数据可知，这5个数为3,3,4,5,5，再根据方差公式进行求解

【详解】

因为5个数中众数为3,5，故3,5各有两个，因平均数是4，设另一个数为x, ,求得，再根据方差公式，求得方差为

故答案为：

【点睛】

判断数据特征，进行合理推断是解决这种题型常用方法，平均数与方差公式需要牢记

4．根据如图所示的伪代码，则输出的的值为______．

【答案】2

【解析】由题可知，的初始值为0，循环变量的初始值为1，步长为2，所以该循环进行的是累加运算，结合具体数值进行运算即可

【详解】

所以该程序运行后输出的算式是

所以输出的的值为2

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图，注意步长为2和每次循环得到的S值是解题的关键

5．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．

【答案】

【解析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解

【详解】

由题知：，双曲线的渐近线方程为

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质

6．甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲乙和棋的概率为______．

【答案】

【解析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解

【详解】

甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为

甲乙和棋的概率为：

故答案为：0.3

【点睛】

互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，相互独立

7．各棱长都为的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，则的值为______．

【答案】

【解析】结合正四棱锥与正四棱柱的结构特征和体积公式进行求解即可

【详解】

方法一：正四棱柱的体积为，正四棱锥的高为，底面积为，故体积为，所以正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，即.

方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为.因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为.

【点睛】

一定要明确题设中给的图形特征，如本题中，正四棱锥是底面为正方形，各侧面是正三角形，正四棱柱指的是正方体

8．已知等比数列的公比为，若，且，则的值为____.

【答案】2

【解析】采用等比数列的通项公式进行求解

【详解】

①， ②

两式相除可得，解得（舍去），，

代入①式可得

答案为：

【点睛】

本题中涉及立方和公式：，应熟记

9．已知，若，且，则的值为______．

【答案】

【解析】观察式子结构特点，可通过求得，要求的值，可通过计算的值，反查三角函数表求得

【详解】

，

又，

答案为：

【点睛】

对于形如这种角度的求解问题，我们一般通过转化成，的形式进行求解，还应熟悉常见的和差角公式的基本特点

10．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】当时，结合对数函数单调性转化成恒成立问题，当时，结合二次函数性质，采用韦达定理求解

【详解】

由题可知，函数有三个零点，则对于在有一个根，根据对数函数性质可得：当时，函数值即

在上有两个根，由韦达定理得，解得

综上所述，实数的取值范围是

【点睛】

函数零点问题一般需要通过结合函数图像基本性质和零点存在定理进行求解，函数转化成恒成立问题在解决此类题型中应用广泛

11．设正实数满足，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】将中的值进行代换，再结合均值不等式性质，即可求解

【详解】

由，

则

故的最小值为

【点睛】

要熟悉均值不等式的一般形式和变形式，涉及拼凑法时，一定要注意等价性，不可多项或少项

12．在平面直角坐标系中，已知圆，点是圆与正半轴的交点，点是圆上异于点的任意一点，若直线恰有一点满足，则实数的所有值为______．

【答案】

【解析】可设，通过代换出圆上的坐标点,将点代入圆的方程进行求解即可

【详解】

由题可知,设，

，又，将点代入圆的方程得：

又只有一个，故，解得或

故k组成的集合为

【点睛】

本题将向量和圆进行考察，体现了用线量法表示几何关系的优越性，此题还涉及等价条件的转化，把方程经过变形处理看作关于b的一元二次方程，再结合判别式进行求解，体现了方程的化归思想

13．已知平面向量满足，，，且，求的最小值为______．

【答案】

【解析】可设，，，运用向量的坐标表示求出m,n,再由向量模的公式和数量积公式的坐标表示，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值

【详解】

设，，，

，，

答案为：

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算及向量模的公式，二次函数最值问题，找出n,p的等量关系，学会用配方法解题是关键

14．在锐角三角形中，是边上的中线，且，则的最小值______．

【答案】6

【解析】结合图形，根据三角形的几何关系，分别表示出，，，将转化成函数问题，利用导数求解最值

【详解】

不妨设,,,

,,

令，令导数为0，可得

在单减，单增，

所以的最小值为6

【点睛】

本题采用将正切函数转化为几何问题，结合函数求解最值，在三角形问题中，我们常利用函数来研究几何问题，在处理相对复杂的几何问题时，往往可简化运算

二、解答题

15．已知△中，，，. 求：

（1）角的大小；

（2）△ABC中最小边的边长.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tanC，将tanA与tanB代入值代入求出tanC的值，即可确定出C的度数；

（2）由tanA与tanB的大小判断出BC为最小边，由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出BC的长．

【详解】

解：(1)

= –= – ，所以，

(2)因为，所以最小角为

又因为，所以，

，又，

所以 ．

【点睛】

此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

16．如图，在四棱锥中，是矩形，，E为PB的中点．

（1）若过的平面交于点F，求证：F为PA的中点；

（2）若平面⊥平面，求证：．

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】(1)    采用线面平行的判定定理和性质定理进行求解，证明，进而证明F为PA的中点

（2）因为平面与平面的交线为PB，可通过线面垂直的判定定理证明，进而得到

【详解】

（1）因为是矩形，

所以，，又，，

所以，

又，，所以，

所以，又在△中，E为PB的中点，

所以，F为PA的中点．

（2）因为，E为PB的中点，所以，

又平面⊥平面，平面⊥平面，

所以，，所以，又是矩形，

所以，，，所以，，

，所以．

【点睛】

线面平行与线线平行可相互转化，线面垂直与面面垂直也可相互转化

如果题设要证线线平行，一般是通过线面平行转化，若是要证线线垂直，一般是通过线面垂直进行转化，如本题的证明思路

17．如图是一块地皮，其中，是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，km，km，．现要从这块地皮中划一个矩形来建造草坪，其中点在曲线段上，点，在直线段上，点在直线段上，设km，矩形草坪的面积为km2．

（1）求，并写出定义域；

（2）当为多少时，矩形草坪的面积最大？

【答案】（1），定义域为；

（2）当时，矩形草坪的面积最大．

【解析】【详解】试题分析：

(1)由题意可得函数的解析式为，定义域为；

(2)对函数求导，结合导函数与原函数的关系可得当时，矩形草坪的面积最大.

试题解析：

（1）

以O为原点，OA边所在直线为轴，建立

如图所示的平面直角坐标系，

过点作于点，

在直角中，，，

所以，又因为，

所以，则，

设抛物线OCB的标准方程为，

代入点的坐标，得，

所以抛物线的方程为．

因为，所以，则，

所以 ，定义域为．

（2），令，得．

当时，，在上单调增；

当时，，在上单调减．

所以当时，取得极大值，也是最大值．

18．在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线椭圆于另一点，点在直线上，且．若，求直线的斜率．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由椭圆经过点A（2，0）和（1，3e），列出方程组，求出a＝2，b，c＝1，由此能求出椭圆的方程；

（2）设直线l的方程是y＝k（x﹣2），联立方程组，求出点B坐标，点M的坐标为（1，﹣k），由MF1⊥BF2，即可求出直线l的斜率．

【详解】

（1）因为椭圆经过点和点，

所以               

解得， 所以椭圆的方程为．  

（2）由（1）可得，

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x-2)

由方程组 消去y，

整理得，

解得x=2或，所以B点坐标为．

由OM=OA知，点M在OA的中垂线x=1上，

又M在直线l上，所以M点坐标为(1,-k)．

所以，．

若，则．

解得，所以，即直线l的斜率．

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的简单性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．

19．已知函数，，.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求实数取值范围；

（3）若当时，恒成立，求实数的最大值．

【答案】（1）极小值，没有极大值； （2）； （3）2 .

【解析】（1）直接进行求导，根据导数与原函数的关系进行极值求解

（2）由于参数的存在，故需对进行分类讨论，时与题意不符，舍去，对进行导数求解，通过增减性进行辨析，当时取到极大值，此时需要判断函数在的左右两侧存在函数值小于零的点，进而得证

（3）令，先求导，再根据恒成立问题求解参数

【详解】

（1），令，得，

所以有极小值，没有极大值；

（2），

①时，，在单调递增，此时至多有一个零点，这与题意不符；

②，令，得，

因为函数有两个零点，所以，得，

，，又在上单调，且图象连续不间断，所以在上有一个零点；

，

 ，所以在单调减，所以，

所以，，，又在上单调，且图象连续不间断，所以在上有一个零点；

综上，实数取值范围为；

（3）记

，令，

所以， ，

①时，，在上单调增，所以，符合题意；

②时，，，又在上单调增，

所以，，使得

则当时，，这与恒成立不符，

综上，实数的最大值为2.

【点睛】

导数问题整体难度偏大，求解时遇到导数受阻情况，需要还原原函数，根据极值点进行判断，如本题中确定极值点后，无法判断极值点两侧是否存在函数值小于零的点，需要找出临近点再进行判断；对于恒成立问题，一般是通过极值点证明最大值或最小值恒大于或小于某个值进行求解；遇到参数问题可采取分类谈论的方式将难度降低，结合导数进一步求解

20．已知数列、、，对于给定的正整数，记，.若对任意的正整数满足：，且是等差数列，则称数列为“”数列.

（1）若数列的前项和为，证明：为数列；

（2）若数列为数列，且，求数列的通项公式；

（3）若数列为数列，证明：是等差数列 ．

【答案】（1）见解析； （2）； （3）见解析.

【解析】（1）采用可进行求解，要验证是否成立

（2）（3）通过题干，将，进行联立求解，代换掉，，可求得数列的通项公式

【详解】

（1）当时，，

当时，符合上式， 则，

，则

对任意的正整数满足，且是公差为4的等差数列，

为数列.

（2），

由数列为数列，则是等差数列，且 

即，

则是常数列，，

验证：，对任意正整数都成立   ．

又由，，

两式相减，得：，

，

（3）由数列为数列可知：是等差数列，记公差为

，

则

又，，

数列为常数列，则

由，

是等差数列.

【点睛】

对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及与的联系需用进行通项求解，但一定注意要验证是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可

21．若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求矩阵和矩阵的特征值．

【答案】.

【解析】根据矩阵的变换关系列出关于a,b的二元一次方程，联立求解即可；设矩阵的特征值为，令，解出对应的即可

【详解】

因为，得，解得，   所以，

，得，

解得， ，

所以，矩阵的特征值为．

【点睛】

矩阵的求解只需要熟记常规计算方法，代入相应公式进行求解

22．已知点是曲线（为参数，）上一点，为原点．若直线的倾斜角为，求点的直角坐标．

【答案】.

【解析】观察可知曲线为椭圆，直接写出的标准方程，再联立直线与椭圆的标准方程求解即可

【详解】

曲线直角坐标方程：，直线的方程为：，

联立方程组，解得 ，

所以的直角坐标为．

【点睛】

椭圆的参数方程为：，其中a,b不等，注意和圆的参数方程进行区分

23．已知，，为正实数，若，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】利用基本不等式得同理可得,三式相加就可得所求结论.准确理解两项和与积的关系，构造和与积的关系运用基本不等式进行放缩证明是解决本题的关键.

【详解】

，

.

【考点】基本不等式应用.

24．如图，在直三棱柱中，是棱的中点，点在线段上．

（1）若是线段的中点，求直线与直线所成角的大小

（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．

【答案】(1) .

(2) .

【解析】(1) 以为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求得

直线MP与直线AC所成的角的大小为．（2）设，，，

利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，解得，即得线段BP的长度．

【详解】

以为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．

（1）若P是线段A1B的中点，

则，，．

所以．

又，所以．

所以直线MP与直线AC所成的角的大小为．

（2）由，得．

设，，，

则，

所以，所以，所以．

设平面的法向量，

则，，

所以取．

因为，设直线与平面所成角为．

由，得．

所以，所以．

【点睛】

（1）本题主要考查向量法求异面直线所成的角和直线和平面所成的角，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.

25．设整数，集合，是的两个非空子集，，记为所有满足的集合对的个数．

（1）求；

（2）求．

【答案】（1）； （2）.

【解析】正难则反，通过求出的情况下对应的集合对的个数，再用总的非空真子集个数减去即可；借鉴第一问的求解方法，结合排列组合公式进行求解

【详解】

（1）集合对共个，先考虑的情况：

时，，，，，

时，，，，，

时，，，，

时，，，时，， 时，．

所以的集合对的个数为37，即．

（2）集合对共个，先考虑的情况：

当中有个元素时，共有种选法，则中不能包括这个元素中任何一个，只能从包含剩余个元素的集合中选取非空子集，共有种选法，故此时有种，

所以，

，

所以，．

【点睛】

对于集合类新题型，解题方法还是基于常规知识，考生应对集合的子集、真子集、非空真子集的求法牢牢掌握，对于延伸类问题，可借鉴前问解题方法，我们的考题中，有很多题型在设问方式上衔接性非常密切