2020届江苏省宿迁市重点中学高三上学期一模全真模拟数学试题（解析版）
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2020．01
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{1，3}，则A(B)＝ ．
答案：{2}
考点：集合的交集、补集
解析：∵全集U＝{1，2，3，4}，B＝{1，3}，
∴B＝{2，4}，
∵集合A＝{1，2}，
∴A(B)＝{2}
2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则＝ ．
答案：
考点：复数
解析：由题意得，所以．
3．函数(＞0)的最小正周期为 ．
答案：π
考点：三角函数的周期
解析：．
4．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为1，则输入x的值为 ．
答案：﹣1
考点：伪代码
解析：根据伪代码可得，又输出y的值为1，
即或，解得x＝﹣1．
5．已知锥体的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为 ．
答案：
考点：圆锥的表面积与体积
解析：设圆锥底面半径为r，又母线与底面所成角为，则母线R＝2r，
求得圆锥的高为h＝，则，解得r＝1．
故圆锥的表面积S＝．
6．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则＝ ．
答案：4
考点：等比数列的通项公式及性质
解析：依题意知， ①
因为，
即
因为等比数列的各项为正数，
所以，
所以，
解得或（舍去），
故或（舍去）
将代入①式得，
所以．
7．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡上的数字大于第二张卡片上的数的概率为 ．
答案：
考点：等可能事件的概率
解析：从4张卡片中随机先后抽取2张，共有16种可能，满足第一张卡上的数字大于第二张卡片上的数有6种情况，故概率P＝．
8．在等差数列中，设k，l，p，r，则k＋l＞p＋r是的 条件．（填“充分⽽不必要”、“必要⽽不充分”、“充要条件”或“既不充分也不必要”中的一个）
答案：既不充分也不必要
考点：充要条件的判断
解析：在等差数0，0，0，0，……，中，3＋4＞1＋2，则不成立，即充分性不成立；
在等差数列中，设公差为d，则，
，由，
得＞，即＞，
当d＜0时，＜，即k＋l＜p＋r，即必要性不成立
所以k＋l＞p＋r是的既不充分也不必要条件
9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：(a＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为 ．
答案：
考点：双曲线的性质
解析：双曲线C：(a＞0)的右顶点为(a，0)，设右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为d，其中渐近线方程为，化为一般式为，
则d＝，解得a＝3（负值已舍去），∴，c＝5，
故离心率e＝．
10．已知(0，)，，则＝ ．
答案：
考点：二倍角公式，同角三角函数关系式
解析：∵，
∴4sincos＝2cos2，
∵(0，)，故cos＞0，sin＞0，
∴cos＝2sin，又sin2＋cos2＝1，且sin＞0，
故求得＝．
11．若实数a，b满足，则的取值范围是 ．
答案：[，0]
考点：线性规划
解析：
12．已知函数，，＝{，}，其中max{a，b}表示a，b中最大的数．若＞e对xR恒成立，则实数t的取值范围是 ．
答案：t＜﹣1
考点：函数与不等式
解析：
由图可知，
13．已知圆O1：(x＋2)2＋y2＝1，圆O2：(x﹣2)2＋y2＝1，若在圆O1上存在点M、圆O2上存在点N使得点P(，3)满足：PM＝PN．则实数的取值范围是 ．
答案：
考点：圆的方程
解析：由题意得：，故PO1≤PO2＋2，
，
，．
14．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA＝，I为△ABC内部的一点，且．若，则x＋y的最大值为 ．
答案：
考点：平面向量
解析：
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2﹣b2 ﹣c2)．
（1）求cosA的值；
（2）求sin(2B﹣A)的值．
解：（1）由及得，
由及余弦定理，
可得．
（2）由（1）可得，代入，
可得．
由（1）知，为钝角，所以，
所以，，
故．
16．（本题满分14分）
如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面四边形ABCD是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求三棱锥A1—AMD的体积．
（2）．
17．（本题满分14分）
已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ交于P、Q 两点．
（1）求△FPQ的周长；
（2）设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴的对称点，直线QR与x轴交于点N．求△QF2N面积的最大值．
解：
（2）
18．（本题满分16分）
如图，长途车站P与地铁站O的距离为千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量 l1，l2的夹角为，OP与l1夹角满足tan＝（其中0＜＜），现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在点A，B处设立公共自行车停放点．
（1）已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；
（2）考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点A，B的位置．
19．（本题满分16分）
已知数列与满足：，，且，．
（1）求，，的值；
（2）设，，证明：是等比数列；
（3）设，，证明：()．
20．（本题满分16分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的零点个数；
（3）若函数在[1，)上是增函数，求证：．
解：（1）函数的定义域为，
对函数 求导可得：
，
当 时， ，
且 ，
则曲线在的切线方程为，
即 。
（2）设，
则恒成立，
则函数在上单调递增，
因为，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
因此函数在上单调递增，
又因为，，
则函数在上只有一个零点，且该零点存在于范围内。
（3）因为函数在上是增函数，且定义域为 ，
对函数求导可得：在上恒成立，
对不等式变形化简可得：
，
，
在上恒成立。
当时，成立；
当时，恒成立，
即满足 。
令（），
则，
由（2）可知，存在一个，使，
即，则。
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
则
，
因此。
在内取和 ，
且，，
因此 。
又因为，
当时，恒成立，
则在上单调递增，
则，
则 ，
故。
