2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷（四）数学文科试题（解析版）
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文 科 数 学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，且全集是实数集，
则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，向量等于（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
4．设是公差不为0的等差数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．1
5．读下面的程序框图（流程图），若输出的值为，那么判断框内空格处可填写（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角，，所对的边为，，，若角，，
则关于的两个结论：①一定是锐角三角形；②一定是等腰三角形．下列判断正确的是（ ）
A．①错误②正确 B．①正确②错误
C．①②都正确 D．①②都错误
9．用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
10．若，，则角的终边落在直线（ ）上
A． B．
C． D．
11．如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，、在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知过点的二次函数的图象如右图，给出下列论断：①，②，③，④．其中正确论断是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．复数的共轭复数为，已知，则___________．
14．以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程为_______________．
15．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是__________．
16．设双曲线的左、右顶点分别为、，若点为双曲线左支上的一点，且直线、的斜率分别为，，则双曲线的渐近线方程为______________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数，
，其图象过点．
（1）求的解析式，并求其图象的对称中心；
（2）将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后各点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到的图象，求函数在上的最大值和最小值．
18．（12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
19．（12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．
（1）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；
（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
20．（12分）已知函数，、为常数，且，
．
（1）证明：；
（2）若是函数的一个极值点，试比较与的大小．
21．（12分）已知直线与抛物线交于（坐标原点），两点，直线与抛物线交于，两点．
（1）若，求实数的值；
（2）过，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，记，分别为三角形和四边形的面积，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在极坐标系中，已知两点，．
（1）求以为直径的圆的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．若直线与圆相交于，两点，圆的圆心为，求的面积．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若的最大值为3，求实数的取值范围．
2020届高三入学调研考试卷
文 科 数 学（四）答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】可得，则，
则，则．
2．【答案】A
【解析】等于向量的终点指向向量的终点的向量，
分解后易知．
3．【答案】D
【解析】当时，由，得；
当时，由，得，
则的零点个数为2．
4．【答案】B
【解析】，则，即，
那么．
5．【答案】A
【解析】填“”时，第一次循环，，；
第二次循环，，；第三次循环，，．
此时不再满足，则输出，它的值是，
判断框内空格处可填写“”．
6．【答案】D
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图．
当直线过点时，；
过点时，．
所以的取值范围是．
7．【答案】A
【解析】由，得，则，
则，同理可得．
8．【答案】C
【解析】因为，则，
注意，，则可得，或．
若，则，，不可能．
若，则，则一定是等腰三角形，也是锐角三角形．
9．【答案】A
【解析】由，得，截面圆的半径满足，则，
那么球心到截面的距离为．
10．【答案】B
【解析】可得，则，角的终边落在直线，即．
11．【答案】C
【解析】知的方程为，与联立，解得，
可得，那么，
则，则，那么．
12．【答案】A
【解析】从图象可得，，知①错误，②正确．
，则，那么，则，③错误．
，知，那么，而，则，一定有，④正确．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】，则，则．
14．【答案】
【解析】圆心到直线的距离为，
则所求圆的标准方程为．
15．【答案】
【解析】知该几何体是一个半球与一个圆台组合成，
此几何体的体积是．
16．【答案】
【解析】的方程为，的方程为，
则，则，则，则，
则双曲线渐近线方程为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），；（2）见解析．
【解析】（1）
．
由于图象过点，∴，
∵，∴．
则，对称中心为．
（2）的图象上各点纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，
则所得图象的函数解析式为．
又纵坐标扩大为原来的2倍，得到的图象，
则，可得，
当时，即时，的最大值为2；
当时，即时，的最小值为．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）取中点，连结、，
在中，、分别为、的中点，
∴，且．
由已知，，
所以，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，且平面，∴平面．
（2）∵为正方形，∴．
又∵平面平面，且平面平面，
又∵平面，∴平面，∴．
在直角梯形中，，，可得．
在中，，，∴，∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设分之间的人数是，由分数段的人数为2人，
可知，得．
（2）依题意，第一组共有人，记作、、、；
第五组共有2人，记作、．
从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：、、、、、、、、、、、、、、．
设事件：选出的两人为“黄金搭档组”，若两人成绩之差大于20，
则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法，故．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），∴，
而，则，即，
∵，∴，得，
则，∴．
（2）∵是函数的一个极值点，∴，即．
又由（1）可得，
0 | 0 | ||||
极大 | 极小 |
∴的单调递增区间是，递减区间．
∵可知，∴，
∴，且，，
∵由上可知在上单调递增，∴．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图，
设，，
由，得，
由，得或，可得，．
又由，得，所以或，故．
由，得，
而，故．
（2）由（1）得．
所以
．
令，因为或，所以或．
故＝，所以或，
即或．
所以的取值范围是．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设为圆上任意一点，则，，
在中，，即．
∴，
∴圆的直角坐标方程为．
（2）作于，到直线的距离，
在中，，
∴的面积为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，不等式化为，
等价于①或②，
由①解得，由②解得或，
所以不等式的解集为．
（2），
那么，
当时，画图知满足要求；
当时，画图知满足要求；
当时，画图知不满足要求．
所以实数的取值范围为．
