2020届陕西省西安电子技大学附中高三上学期一模数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省西安电子技大学附中高三上学期一模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：根据集合可直接求解.

详解：,

,

故选C

点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.

2．下列说法正确的是（    ）

A．“若，则”的否命题是“若，则”

B．“若，则”的逆命题为真命题

C．，使成立

D．“若，则”是真命题

【答案】D

【解析】选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．

选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．

选项C，由题意知对，都有，故C不正确．

选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．

选D．

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选A．

【考点】函数的定义域．

4．若函数在时取得极值，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.

【详解】

因为，所以，

又函数在时取得极值，

所以，解得.

故选D

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.

5．甲乙两人有三个不同的学习小组， ， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.

6．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用诱导公式得到，对该式两边平方后结合平方关系得到的值，再利用平方关系可得，从而求得的值.

【详解】

因为，所以，

故，所以，

因此且.

因为，故，所以.

又，故.

而，故.

故选：A.

【点睛】

本题考查同角的三角函数的基本关系式，注意这四个代数式之间的关系是“知一求三”，本题属于基础题.

7．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（    ）

A．0 B．2 C．4 D．1

【答案】C

【解析】根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.

【详解】

因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，

所以为上的奇函数.

由可得，故，

故是周期为4的周期函数.

因为，

所以.

因为，故，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.

8．设函数在定义城内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.

【详解】

由的图象可知，在上为增函数，

且在上存在正数，使得在上为增函数，

在为减函数，

故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，

故排除A，B.

由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.

故选：D.

【点睛】

本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.

9．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.

【详解】

因为，，

故.

又，故.

因为当时，函数是单调递减函数，

所以.

因为为偶函数，故，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.

10．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )

A．(－∞，2] B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]

【答案】B

【解析】由f(1)=得a2=,

∴a=或a=-(舍),

即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.

11．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.

【详解】

因为是定义在上的增函数，故.

又有意义，故，故，所以.

令，则，

故在上为增函数，所以即，

整理得到.

故选：D.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.

12．己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.

【详解】

因为的图象上关于原点对称的点有2对，

所以时，有两个不同的实数解.

令，则在有两个不同的零点.

又，

当时，，故在上为增函数，

在上至多一个零点，舍.

当时，

若，则，在上为增函数；

若，则，在上为减函数；

故，

因为有两个不同的零点，所以，解得.

又当时，且，故在上存在一个零点.

又，其中.

令，则，

当时，，故为减函数，

所以即.

因为，所以在上也存在一个零点.

综上，当时，有两个不同的零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题.

二、填空题

13．设，则“”是“”的__________条件.

【答案】充分必要

【解析】根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.

【详解】

当时，有，故“”是“”的充分条件.

当时，有，故“”是“”的必要条件.

故“”是“”的充分必要条件，

故答案为：充分必要.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.

14．函数的单调增区间为__________.

【答案】

【解析】先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间.

【详解】

函数的定义域为.

，

令，则，故函数的单调增区间为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.

15．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．

【答案】

【解析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．

【考点】二项式定理．

三、解答题

16．若不等式在时恒成立，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】原不等式等价于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范围.

【详解】

因为在时恒成立，故在恒成立.

令，由可得.

令，，则为上的增函数，故.

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，本题属于基础题.

17．求下列函数的导数：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据复合函数的求导法则可得结果.

（2）同样根据复合函数的求导法则可得结果.

【详解】

（1）令，，则，

而，，故.

（2）令，，则，

而，，故，

化简得到.

【点睛】

本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题.

18．已知函数，．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．

【解析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．

由已知，有

的最小正周期．

（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．

【考点】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．

19．已知，求的最小值.

【答案】

【解析】讨论和的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值

【详解】

当时，，它在上是减函数

故函数的最小值为

当时，函数的图象思维对称轴方程为

当时，，函数的最小值为

当时，，函数的最小值为

当时，，函数的最小值为

综上，

【点睛】

本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

20．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．

附：.

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入计算公式，求出的值，即可比较得到结论；

（2）由题意，可得从观众中抽取到一名“体育迷”的概率为，由于，从而给出分布列，用公式即可求得数学期望．

试题解析：

(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：

将22列联表中的数据代入公式计算，得

K2＝＝＝≈3.030.

因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．

(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为

E(X)＝np＝3＝.D(X)＝np(1－p)＝3＝

21．已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求的值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】【详解】

分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.

详解：（1）当时，等价于．

设函数，则．

当时，，所以在单调递减．

而，故当时，，即．

（2）设函数．

在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

（i）当时，，没有零点；

（ii）当时，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

故是在的最小值．

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

由（1）知，当时，，所以．

故在有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在只有一个零点时，．

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.