2020届陕西省宝鸡市高考模拟检测（二）数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．若复数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用复数的乘法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数的虚部.
【详解】
因为，所以的虚部为．
故选：C
【点睛】
本题考查复数虚部的求解，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
2．设全集U=R，集合，则（ ）
A．{x|-1 <x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}
【答案】C
【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得
【详解】
由，解得或.
因为或，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.
3．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A．23 B．21 C．35 D．32
【答案】B
【解析】根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.
【详解】
随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.
4．已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将圆的方程化为标准方程，判断出点在圆上，求出所在直线的斜率，利用可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】
圆可化为：，则圆心，
，则点在圆上，
直线的斜率为，，则直线的斜率为，
所以，直线的点斜式方程为，化为一般式得.
故选：D.
【点睛】
本题考查圆的切线方程的求解，解题时要判断点是否在圆上，考查计算能力，属于中等题.
5．等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用等比数列的基本性质求得的值，然后利用对数的运算性质和等比数列的基本性质可求得的值.
【详解】
由等比数列的性质得，所以，
所以，
则，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用等比数列的基本性质求值，涉及对数运算性质的应用，解题时要观察下标和，考查计算能力，属于中等题.
6．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.
【详解】
是偶函数，，
而，因为在上递减，
，
即．
故选:D
【点睛】
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.
7．执行如下的程序框图，则输出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.
【详解】
满足，执行第一次循环，，；
成立，执行第二次循环，，；
成立，执行第三次循环，，；
成立，执行第四次循环，，；
成立，执行第五次循环，，；
成立，执行第六次循环，，；
成立，执行第七次循环，，；
成立，执行第八次循环，，；
不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
8．点是所在平面内一点且，在内任取一点，则此点取自内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由计算出与的面积比，利用几何概型的概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】
设是中点，因为，所以，
所以、、三点共线且点是线段的三等分点，
故，所以此点取自内的概率是．
故选：B.
【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，解答关键就是确定点的位置，考查计算能力，属于中等题.
9．函数的图象为C，以下结论中正确的是（ ）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.
【详解】
因为，
又，所以①正确.
，所以②正确.
将的图象向右平移个单位长度，得，所以③错误.
所以①②正确，③错误.
故选:B
【点睛】
本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图得出组合体的结构，结合简单几何体的表面积公式即可计算出该几何体的表面积.
【详解】
由三视图知该几何体的为一个组合体，由棱长为正方体上方放了个以为半径的球体构成，
所以该几何体的表面积，
故选：A．
【点睛】
本题考查利用三视图计算几何体的表面积，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
11．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于、两点，交其准线于，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出图形，过、分别作抛物线准线的垂线交准线于、两点，设，根据抛物线的定义得出，，再利用得出，进而可求得的值.
【详解】
过、分别作抛物线准线的垂线交准线于、两点，
设，根据抛物线的性质可知，，，
，，由得，即，解得.
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线焦半径的计算，涉及抛物线的定义以及三角形相似的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析出函数为偶函数且在上为增函数，将不等式变形为，可得出，解此不等式即可.
【详解】
因为函数的定义域为，，
，该函数为偶函数，
任取，则，
，，，，即，
因此，函数在区间上为增函数，
由可得，则，化简得，
解得或.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数不等式的求解，涉及函数单调性与奇偶性的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
二、填空题
13．若，则____________.
【答案】
【解析】由函数的解析式，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】
由题意，函数，则，
所以.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的化简求值，以及特殊角的正弦函数的应用，其中解答中熟练应用分段函数解析式，合理利用分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为＿＿＿．
【答案】4
【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图，目标函数化为斜截式为，所以当直线的截距最大时，所以当直线过点时， 故选C．
【考点】简单的线性规划．
15．数列满足，则_____，_____.
【答案】
【解析】分别令、、，逐项计算可得出的值，再令，由可得出，两式相减可求得，再验证是否满足在时的表达式，综合可得出数列的通项公式.
【详解】
，，
当时，，
，
两式相减得，
所以，满足.
综上所述.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查利用前项和求通项，考查计算能力，属于中等题.
16．若为的各位数字之和，如，，记，，，，，则_____.
【答案】
【解析】推导出，进而得出，即可得解.
【详解】
由题意，因为，所以；
因为，所以；
因为，所以；
因为，所以；
因为，所以；
，，
，因此，
故答案为：.
【点睛】
本题考查新定义运算，推导出是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题
17．已知函数
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）函数，
，
由，
得.
所以的单调递增区间为 .
（2）因为且为锐角，所以.
由及正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，
解得， .
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
18．如图，在直三棱柱中，，为的中点，、
（1）证明：面；
（2）若，，，求点到平面的距离，
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）推导出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，利用等体积法可计算出点到平面的距离.
【详解】
（1）平面，平面，，
在三棱柱中，，，，则，
又平面，平面，，
平面，
又平面，，
又，平面，平面，，
平面；
（2）因为，为的中点，所以，
又，，
，，，，
，，，
，，，，，
设点到平面的距离为，则，
，，解得．
故点到平面的距离为．
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．某调查机构为了了解某产品年产量（吨）对价格（千元/吨）和利润的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求关于的线性回归方程；
（2）若每吨该产品的成本为千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？
参考公式：，.
【答案】（1）；（2）当时，年利润最大.
【解析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出和的值，即可得出关于的线性回归方程；
（2）求出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质可求得取最大值时对应的值.
【详解】
（1），，
，
所以，
.
关于的线性回归方程是
（2）年利润
所以当时，年利润最大.
【点睛】
本题考查利用最小二乘法求回归方程以及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题.
20．已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、，且满足条件的点在椭圆上，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，进而可得出直线的方程.
【详解】
（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上，
所以，解得，因此，椭圆的标准方程为；
（2）显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则直线l的方程为，设，，，
由消去得，
，解得或.
所以，，
因为，所以，，所以，点的坐标为，
将点的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得.
故直线的方程为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.
21．已知函数.
（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；
（2）若f(x)有两个极值点证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）求得函数的定义域和导数，然后对实数进行分类讨论，分析导数在区间的零点个数，结合导数的符号变化可得出结论；
（2）由（1）知，并且、是关于的二次方程的两根，利用韦达定理得出，，令，利用导数证明出不等式对任意的恒成立即可.
【详解】
（1）因为定义域为，
所以.
（ⅰ）当时，，由得
当时，，当时，，
所以是函数的一个极值点；
（ⅱ）当时，.
①若，即当时，，
此时，函数在是减函数，函数无极值点，
若，即时，
方程有两根、，，，
，，不妨设，
当和时，，时，，
、是函数的两个极值点.
综上所述时，函数有一个极值点；
当时，函数无极值点；
当时，函数有两个极值点；
（2）由（1）可知当且仅当时，函数有极小值点和极大值点，
且、是方程的两个正根，则，，
令，则
所以，函数在上单调递增，故，
故．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点，同时也考查了利用导数证明不等式，证明的关键在于构造新函数，结合单调性证明，考查计算能力与推理能力，属于难题.
22．在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.
【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）最小值为，此时
【解析】（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.
（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.
【详解】
（1）由题意知的参数方程为（为参数）
所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，
因为是直线，所以的最小值即为到的距离，
因为．
当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．
【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.
23．已知f(x)=|x +3|-|x-2|
（1）求函数f(x)的最大值m；
（2）正数a，b，c满足a +2b +3c=m，求证：
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）利用绝对值三角不等式求得的最大值.
（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“的代换”的方法，结合基本不等式证得不等式成立.
【详解】
（1）由绝对值不等式性质得
当且仅当即时等号成立，所以
（2）由（1）得.
法1：由柯西不等式得
当且仅当时等号成立，
即，所以 .
法2：由得，
，
当且仅当时“=”成立.
【点睛】
本小题主要考查绝对值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式，属于中档题.
