2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试（2）数学（理）
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2020届山西省临汾市高三下学期模拟考试（2）
数学（理）
测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则（ ）
A． B． C．5 D．3
2．已知全集为，集合,，
则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知夹角为的向量满足，且，则向量的关系是( )
A．互相垂直 B．方向相同 C．方向相反 D．成角
5．公差不为零的等差数列中，成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知满足，则 （ ）
A． B． C．3 D．
8．运行如图所示的程序算法，若输入的值为20，则输出的结果为（ ）
A．20 B．10 C．0 D．
9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有 （ ）
A．3840 B．5040 C．6020 D．7200
10．若不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，,
,的面积为，则该双曲线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，函数，
若方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .
14．已知抛物线的焦点坐标为，则直线与抛物线围成的封闭图形的面积为 .
15．已知的最大值为，则的最小值
为 .
16．设数列的前项和为，已知对于任意正整数，都有，若存在正整数，使得，则实数的取值范围
是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）的内角的对边分别为，
若，且为锐角．
（1）求的值；
（2）当取得最小值时，求的值．
18．(12分)如图，是正方形，平面，平面，
,．
（1）求证:；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：
若根据往年防汛经验，每小时降雨量在时，要保持二级警戒，每小时降雨量在时，要保持一级警戒.
（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；
（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且在椭圆上运动，当点恰好在直线l:上时，
的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）作与平行的直线，与椭圆交于两点，且线段的中点为，若的斜率分别为，求的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）若在处的切线与直线垂直，求的极值；
（2）若函数的图象恒在直线的下方.
①求实数的取值范围；
②求证:对任意正整数，都有.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，且），直线与曲线交于两点.
（1）若，求实数的值；
（2）若点的直角坐标为，且，求实数的取值范围.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数(其中m为常数).
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）求证：对任意实数恒成立.
理科数学答案
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】C
12．【答案】D
13．【答案】145
14．【答案】24
15．【答案】17
16．【答案】
17．【解析】
（1）由及正弦定理可得
，即，
由可得，而是锐角，所以.（5分）
（2）由余弦定理可得，
则，
当且仅当时，取得最小值.（9分）
此时，所以，
.（12分）
18．【解析】
（1）是正方形，,平面,，
而平面,平面，
又平面,.（6分）
（2）如图，以为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设，则,.则，
,,.
设平面和平面的法向量分别为.
由条件可得，即，令，故.
同理可得.
由条件可得，
即，解之得或(舍去)..（12分）
19．【解析】
（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为：
0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25.（3分）
（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3,
则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中，
属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）
从这10小时中抽取3小时，用表示一级警戒的小时数，的取值可能为0,1,2,3.
则,,,.
所以，的分布列为：
0 | 1 | 2 | 3 | |
则的期望值为：（小时）.（12分）
20．【解析】
（1）由可得,.
根据对称性，不妨设点在第一象限，则点的坐标为，
设椭圆的焦距为2c，由条件可得，即，
由椭圆的离心率可得，所以，,，所以，,，
，解之得，故.故椭圆的方程为.（6分）
（2）设直线的方程为.由可得，
由条件可得，即，所以，，或.
设，则.
则,.则，
.
当时，，且在和上的取值范围相同，
故只需求在上的取值范围.
而在和上随的增大而增大.
的取值范围是.（12分）
21．【解析】
（1）由可得，
由条件可得，即.
则,，
令可得，当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，无极小值.（4分）
（2）①由条件可知：只需，即在上恒成立.
即，而,,恒成立.
令，则，令可得.
当时，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为,，即实数的取值范围是.（8分）
②由①可知,时，，即对任意的恒成立.
令，则.，
即,.（12分）
22．【解析】
（1）曲线的极坐标方程可化为，
化为直角坐标系下的普通方程为：，即.
直线的普通方程为：，而点到直线的距离为，
由条件可得，即，结合可得.（5分）
（2）显然点在直线上,把代入并整理可得
，设点对应的参数分别为.
则，解之得或.
则，解之得或.
而,实数m的取值范围是.（10分）
23．【解析】
（1）由条件可知，
①当时，，解之得，所以，；
②当时，，恒成立，所以，；
③当时，，解之得，所以，.
综上可知，实数m的取值范围是．（5分）
（2）,
，而，
对任意实数恒成立.（10分）
