2020届四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）（word版）

2020年四川省凉山州高考一诊试卷

数学（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合A={1，2}，B={-1，1，a+1}，且A⊆B，则a=（　　）

A. 1 B. 0 C. -1 D. 2

2. 在复平面内，复数z=（1+i）（2-i）对应的点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 抛物线x2+3y=0的准线方程为（　　）

A. x= B. x=- C. y= D. y=-

4. 已知2||=||，（-）⊥，则与的夹角是（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

5. 如图所示的程序框图，若输出值y=1，则输入值x的集合是（　　）

A. {0，1}
B. {1，2}
C. {0，2}
D. {1}

6. 污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一．凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（　　）（精确到小数点后2位）

A. 0.13 B. 0.15 C. 0.20 D. 0.22

7. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，则只要将f（x）的图象（　　）

A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度

8. △ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，bcosA=sinB，则A=（　　）

A.  B.  C.  D.

9. 已知平面α，β，γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（　　）

A. α内有无数条直线与β平行 B. l⊥α且l⊥β C. γ⊥α且γ⊥β D. α内的任何直线都与β平行

10. 函数f（x）=，其图象的对称中心是（　　）

A. （0，1） B. （1，-1） C. （1，1） D. （0，-1）

11. 已知点M为直线x+y-3=0上的动点，过点M引圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则点P（0，-1）到直线AB的距离的最大值为（　　）

A.  B.  C.  D.

12. 若函数f（x）=x2-ax+blnx在区间（1，2）上有两个极值点，则b的可能取值为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 计算：2lg=______．
14. 已知0＜α＜，tanα=，则sinα+cosα=______．
15. 在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为______．
16. 如图，直线PT和AB分别是函数f（x）=x3-3x过点P（2，2）的切线（切点为T）和割线，则切线PT的方程为______；若A（a，f（a）），B（b，f（b））（b＜a＜2），则a+b=______．
    
    
    
    
    
    

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=1，S3=9．
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）设bn=a2n-1+a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
    
    
    
    
    
    
    
18. 如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示．
    （1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x（x＜10，x∈N）的值；
    （2）从甲班的样本不低于90分的成绩中任取2名学生的成绩，求这2名学生的成绩不相同的概率．
    
    
    
    
    
    
    
19. 在△ABC中（图1），AB=5，AC=7，D为线段AC上的点，且BD=CD=4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM⊥BC，连接AC．
    （1）求证：AB⊥CD；
    （2）求四面体ABCD外接球的表面积．

20. 已知函数f（x）=（e=2.71828…为自然对数的底数）•
    （1）若a≠0，试讨论f（x）的单调性；
    （2）对任意x∈（0，+∞）均有ex+x2-ax+1≥0，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
21. 已知椭圆C：的离心率为，且与双曲线有相同的焦点•
    （l）求椭圆C的方程；
    （2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点P（1，），若直线MP斜率为，求△ABP面积的最大值及此时直线l的方程．
    
    
    
    
    
    
    
22. 在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（1，0），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0．
    （1）判断点M与直线l的位置关系；
    （2）设直线l与曲线C：（t为参数，t∈R）相交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．
    
    
    
    
    
    
    
23. 已知f（x）=|x+a|．
    （1）若a=2，求不等式f（2x-2）＜3的解集；
    （2）若f（x）+f（x-2）≥m2+m对任意，x∈R恒成立，求m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】D

12.【答案】A

13.【答案】2
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】y=2  -2

17.【答案】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，
由a1=1，S3=9，可得3+×3×2d=9，解得d=2，
则an=1+2（n-1）=2n-1；
（2）bn=a2n-1+a2n=2（2n-1）-1+4n-1=8n-4，
则前n项和Tn=4+12+…+（8n-4）=n（4+8n-4）=4n2．
18.【答案】解：（1）设样本甲、乙两班的平均成绩分别为、，
则=（70×3+80×3+90×2+100×2+5×3+3+7×6）=89，
=（70×2+80×3+90×4+100+8×2+3×2+1+2+4+5+x+9）=84+，
∵甲乙两个班级的平均分相同，∴84+=89，
解得x=7．
（2）由茎叶图得甲班的样本中成绩不低于90分的学生有4人，记他们的成绩分别为，A2，B，C，
其中，，A2表示成绩为97分的两名学生的成绩，B，C分别表示成绩为105分和107分的两名学生的成绩，
则从这4名学生中任取两名学生的成绩，不同的取法有6种，分别为：
{A1，A2}，{A1，B}，{A1，C}，{A2，B}，{A2，C}，{B，C}，
这2名学生的成绩不相同包含的基本事件有5种，分别为：
{A1，B}，{A1，C}，{A2，B}，{A2，C}，{B，C}，
∴这2名学生的成绩不相同的概率P=．
19.【答案】解：（1）证明：在图①中，AC=7，BD=CD=4，∴AD=3，
在△ABD 中，AB=5，AD=3，BD=4，
∵AD2+BD2=AB2，
∴BD⊥CD，翻折后仍有BD⊥CD，
又AD，BD都在面ABD，AD∩BD=D，∴CD⊥面ABD，AB 在面ABD内，
∴AB⊥CD；
（2）由（1）知，四面体ABCD可补为一个以DA，DB，DC为长，宽，高的长方体，
所以四面体ABCD外接球的半径R==，
所以四面体ABCD的外接球的表面积S=4πR2=41π．

20.【答案】解：（1）函数的定义域{x|x≠0}，
∵f′（x）=，
当a＞0时，若x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增，
若x∈（-∞，0），（0，1），f′（x）＜0，函数单调递减，
当a＜0时，若x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减，
若x∈（-∞，0），（0，1），f′（x）＞0，函数单调递增，
（2）由题意可得，a，
令h（x）=，x＞0，
则h′（x）=，
令g（x）=ex+x+1，
则g′（x）=ex+1＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（0）=1，即ex+x+1＞0，
故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x=1时，函数h（x）取得最小值h（1）=e+2，
故a的范围为（-∞，e+2]．

21.【答案】解：（1）由题意，双曲线的焦点（±1，0）所以由题意知椭圆中：c=1，e==，b2=a2-c2，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为：；
（2）∵，∴M为线段AB的中点，又kMP==kPO，
1）当M为坐标原点时，
①当AB的斜率不存在时，此时，A，B为短轴的两个端点，S△ABP=2b•|xP|==，
②当AB的斜率存在时，设的斜率为k，设A（x，y），B（x'，y'），则直线AB：y=kx（k）
代入椭圆方程整理：（3+4k2）x2-12=0，x+x'=0，xx'=，
∴|AB|===4，
P到直线AB的距离d=，
所以SABP=•|AB|•d=2=，
令t=6-12k，∴==，
∵要得面积S△ABP的最大值，则t＞0，t+≥24，
∴=3，这时t=，即t=12，∴6-12k=12，k=-时等号成立，
∴（S△ABP）max=2，直线方程为：y=-x．
2）当M不为原点时，
由kMP=kOP=，∴M，O，P三点共线，
∴kMO=，设A（x，y），B（x'，y'），M（x0，y0），
lAB的斜率为：kAB，x+x'=2x0，y+y'=2y0，=，
因为A，B在椭圆上：，
∴+=0，
∴1+=0，
∴1+•kAB=0，
即1+=0，∴kAB=-，
设直线lAB：y=-x+m代入椭圆整理得：x2-mx+m2-3=0，△=m2-4（m2-3）＞0，m2＜4，x+x'=m，xx'=m2-3
∴|AB|==•，P到直线AB的距离为：d==2，
∴S△ABP==••2=•，
令g（m）=（2-m）3（2+m），（-2＜m＜2），
g'（m）=-4（2-m）2（m+1），m∈（-2，-1），g'（m）＞0，g（m）单调递增，m∈（-1，2），g'（m）＜0，g（m）单调递减，所以g（-1）max=27，∴S△ABP）max=，∴直线AB的方程：y=--1，
综上所述，面积的最大值为，直线AB的方程：y=--1．

22.【答案】解：（1）l在平面直角坐标系的方程为x+y-1=0，
将M（1，0）代入得1+0-1=0，
∴点M在直线l上．
（2）曲线C的直角坐标系为y2=4x，
直线l的参数方程为，（t为参数），
将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x，得：
，
∴点M到A，B两点的距离之积为：|t1t2|=8．
23.【答案】解：（1）当a=2时，f（2x-2）＜3即|2x-2+2|＜3，解得，
故所求不等式的解集为；
（2）f（x）+f（x-2）=|x+a|+|x+a-2|≥|x+a-x-a+2|=2，
∴只需2≥m2+m成立即可，
∴-2≤m≤1，即实数m的取值范围为[-2，1]．