2020届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题（解析版）

2020届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知，，则(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求解集合,然后求解.

【详解】

因为，，

所以.故选：A.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题，侧重考查数学运算的核心素养.

2．若，则下列结论不正确的是(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】结合不等式的性质或特殊值，逐个选项验证.

【详解】

因为，所以，选项A正确；

因为，所以，选项B正确；

因为，所以，选项C不正确；

因为为增函数，所以，选项D正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，这类问题的求解方法是利用常见的不等式的性质或者利用特殊值进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.

3．下列函数中定义域为，且在上单调递增的是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.

【详解】

因为的定义域为，的定义域为，所以排除选项B,C.

因为在是减函数，所以排除选项A，故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养.

4．等差数列的前n项和为，若，，则(   )

A．4 B．5 C．10 D．15

【答案】B

【解析】先由求，再求公差，最后可得.

【详解】

因为，所以，可得，所以，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等差数列的基本运算，熟练记忆等差数列的求和公式及通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

5．已知函数，若，则(   )

A．-2 B．-1 C．0 D．

【答案】B

【解析】先由写出，再由二者关系可得与的关系，易得.

【详解】

因为，所以，

所以，易得.故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数的表示方法，结合函数解析式的特征可求，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

6．已知命题函数，的最小值为；命题若向量，，，满足，则．下列命题中为真命题的是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先判断命题，命题的真假，利用基本不等式和三角函数的性质可判断命题为假，再用零向量判断命题为假，进而判断命题和命题为真，易得为真.

【详解】

由题意命题函数当且仅当时，等号成立，由性质可得，所以函数，取不到最小值，即命题为假，则命题为真；

命题若向量为零向量，满足，但不一定有，所以命题为假，则命题为真，所以为真.故选: D.

【点睛】

本题主要考查命题真假的判定，涉及基本不等式的最值问题要注意条件的检验，平面向量的运算要熟记运算规则，侧重考查逻辑推理的核心素养.

7．若，，，则a，b，c的大小关系为(   )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先将化成与同底，再利用指数函数单调性比较大小，然后利用中间值1比较的大小，最后易得三者关系.

【详解】

因为，由指数函数单调递增，且可得，且，又因为，所以.故选：B.

【点睛】

本题主要考查指数式，对数式比较大小，指数式的大小比较一般是化为同底数来进行，不同类的数值比较一般采用介值法进行，侧重考查数学抽象的核心素养.

8．已知x，y满足约束条件，则的最小值为(   )

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】C

【解析】先作出可行域，平移目标函数，确定取到最小值的点，然后求出点代入目标函数可得.

【详解】

作出可行域，如图，

易得目标函数在点处取到最小值，

由得，

所以的最小值为，故选：C.

【点睛】

本题主要考查线性规划求解最值问题，主要求解方法是作出可行域，平移目标函数，得到最值点，联立方程组，求出最值点可得最值.

9．设函数（其中常数）的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距为(   )

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【解析】先求得的导数，可得切线的斜率，根据切点写出切线的点斜式方程，令可得l在y轴上的截距.

【详解】

因为函数的导数为，可得图象在点处的切线斜率为，且，则切线方程为，令可得，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解在某点处的切线方程的策略是：先求导数，代入切点横坐标可得切线斜率，然后结合点斜式可求切线方程，侧重考查数学运算的核心素养.

10．某数学小组到进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：，）(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先由题意得到符合公司要求的函数模型应满足的三个条件，再逐项验证即可.

【详解】

由题意得，符合公司要求的函数模型应满足：

当时，①函数为增函数 ；② ；③.

对于选项A，满足条件①，但当时，则不满足条件②，所以选项A错误；

对于选项B，满足条件①，但当时，有，因而不符合条件②，所以选项B错误；

对于选项C，满足条件①，

当时，有，所以满足条件②，且有恒成立，所以满足条件③，故选项C正确；

对于选项D，不满足条件①，所以选项D错误.故选：C.

【点睛】

本题主要考查不同函数的增长模型，明确实际问题蕴含的数学模型特点是求解的关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

11．函数在上单调递增，且图象关于对称，则的值为(   )

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】先求周期的范围，再进一步得到的范围，排除选项B,C,D.

【详解】

因为函数在上单调递增，所以，所以.又因为，所以，所以.只有选项A符合，经检验可知图象关于对称；故选: A.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象及性质，利用单调性和对称性确定参数，特值进行排除也是常用方法，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

12．在中，，的平分线AD交边BC于点D，已知，且，则在方向上的投影为(   )

A．1 B． C．3 D．

【答案】D

【解析】先根据得出四边形为菱形，从而可得,进而可求在方向上的投影.

【详解】

因为，如图设,,所以四边形为菱形；

因为，，所以,即有;

结合比例性质可得,所以;

在方向上的投影为.故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量的应用，明确向量的运算规则是求解的关键，数形结合能简化运算过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

二、填空题

13．已知函数的定义域为，且满足，当时，，则________．

【答案】e

【解析】先根据可得周期为，利用周期可求，从而可得结果.

【详解】

因为，所以函数的周期为，所以；

又因为当时，，所以.故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用函数的周期求值，主要求解思路是：先根据题设条件得出函数的周期，再结合周期把目标函数值转化到已知区间上，然后可求，侧重考查数学抽象的核心素养.

14．已知向量，向量的模为1，且，则与的夹角为________．

【答案】

【解析】先根据求得，然后利用向量的夹角公式可求.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，即有，

，所以，故与的夹角为.故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算，向量夹角的求解主要利用公式来求，侧重考查数学运算的核心素养.

15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东的方向上，仰角为，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）

【答案】

【解析】根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得.

【详解】

如图，

根据已知可得

设飞行高度为千米，即，则;

在直角三角形中，,所以，；

在直角三角形中，同理可求；

因为飞行速度为千米/小时，飞行时间是1分钟，所以,

所以，解得，故答案为：.

【点睛】

本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关键，融合了简单的物理知识，侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.

16．若函数有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为________．

【答案】或

【解析】先求解导数，结合导数的符号，确定函数的单调性，结合极值情况可求.

【详解】

，

当时，时，，时，，所以有极小值，由题意，令可得；

当时，，显然成立；

当时，，为增函数，且有，显然成立；

当时，时，，时，，时，，所以有极大值，显然成立；

当时，时，，时，，时，，所以有极小值，有极大值，

，若函数有且仅有1个零点，

则需要，即，

易知当时，恒成立.

综上可得或，故答案为：或.

【点睛】

本题主要考查利用导数求解函数的零点问题，零点问题一般是结合导数，研究函数的单调性，极值等，结合图象走势情况进行求解，难度较大，综合性较强，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

三、解答题

17．已知函数．

（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）  ，

（2）

【解析】（1）先结合三角恒等变换的公式把目标函数化简为标准型，结合周期求解公式和单调区间求解方法可求；

（2）结合所给角的范围，确定的范围，结合函数值可得所求角.

【详解】

解：（1）

∴，

即的最小正周期为．

∵的单调递减区间为，，

∴由，，解得，，

∴的单调递减区间为，．

（2）由已知，可得，

即，

再由，可得，

∴，

解得．

【点睛】

本题主要考查三角函数的恒等变换及性质，一般求解思路是：先利用公式把目标函数化简为标准型，然后利用相应性质的求解方法求解，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.

18．已知数列满足，，且，，数列的前n项和．

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1），

（2）

【解析】（1）先根据条件可得数列是等差数列，结合等差数列的通项公式可求，数列的通项公式可由公式求得；

（2）先求解，根据通项公式的特点，利用分组求和法求和.

【详解】

解：（1）∵，，即，

∴数列是等差数列．

由，，解得，，

∴．

当时，，

当时，．

．

∴数列的通项公式为．

（2）由（1）得，，

．

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解和数列求和，已知求解通项公式时，通常利用公式求解，数列求和一般是利用通项公式的特征，选择合适的方法求解，常用方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法等，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

19．已知中三个内角A，B，C满足．

（1）求；

（2）若，b是角B的对边，，求的面积．

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）先根据及平方关系，可以求得；

（2）根据三角形的性质及正弦定理可求，，然后利用面积公式可得.

【详解】

解：（1）在中，，即，

∴，

由题意得．

两边平方可得，

根据，

可整理为，

解得或（舍去）．

∴．

（2）由，且，

可得，为钝角，

∴，

又，

由正弦定理得，

∴，．

又为钝角，由（1）得．

∴的面积为

综上所述，的面积为．

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和面积公式求解三角形问题，解三角形时需要注意三角形性质的使用及面积公式的选择，边角的相互转化是求解的常用策略，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

20．已知函数．

（1）求函数在区间上的值域；

（2）若实数，均大于1且满足，求的最小值．

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）先把函数化简为，结合的范围可得；

（2）先根据得，表示出目标函数，结合均值定理可求.

【详解】

解：（1）由题意得，

由，知，于是，

∴，即，

∴，

∴的值域为．

（2），

所以．

又，，

∴

当且仅当，即时取“”，

故，

∵在上是增函数，

∴．

【点睛】

本题主要考查函数的值域及利用基本不等式求解最值，基本不等式求解最值问题要满足适用条件，等量关系的代换是本题求解的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

21．已知函数，，．

（1）若存在极小值，求实数a的取值范围；

（2）若，求证：．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】（1）先求函数的导函数，通过分类讨论导数的符号情况，得出极值情况，从而可求；

（2）先把目标不等式等价转化，构造新函数，求导，判定单调性，得到最值，然后可证.

【详解】

解：（1）由题意得，令，

则．

∴当时，得，此时单调递减，且，，

当时，得，此时单调递增，且，，

∴．

①当，即时，，于是在上是增函数，

从而在上无极值．

②当，即时，存在，使得，

且当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

故是在上的极小值点．

综上，．

（2）要证）即等价于证明．

①当时，得，，

显然成立；

②当时，则，

结合已知，可得．

于是问题转化为证明，

即证明．

令，，

则，

令，

则，

易得在上单调递增．

∵，，

∴存在使得，即．

∴在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

又，，

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴，

故，问题得证．

【点睛】

本题主要考查导数的应用，利用导数求解极值问题一般是结合函数的单调性进行，不等关系的证明一般是利用转化思想进行等价变形，然后构造新函数，判定新函数的单调性或求解最值，本题综合性较强，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长．

【答案】（1） 

（2）

【解析】（1）结合三角函数的基本关系消去参数可得普通方程，结合公式，可得极坐标方程；

（2）分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段的长．

【详解】

解：（1）由题意得，

∴曲线的普通方程为．

∵，，

∴代入可得曲线的极坐标方程为．

（2）把代入中，

可得，

解得﹐

即点的极径，

由（1）易得，

∴．

【点睛】

本题主要考查参数方程与极坐标方程，参数方程化为普通方程一般是消去参数，普通方程化为极坐标方程主要利用，来实现，侧重考查数学运算的核心素养.

23．设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）利用零点分段讨论法，把绝对值符号去掉可得解集；

（2）先求的最小值，然后求解绝对值不等式即可.

【详解】

（1）当时，．

当时，，解得；

当时，，

无解．

当时，，

解得；

综上，原不等式的解集为．

（2）∵

当且仅当等号成立

∴，

∴或，

即或，

∴实数m的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的求解一般转化为分段函数求解，不等式有关的最值常用来实现，侧重考查数学运算的核心素养.