2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学（理）试题（解析版）

2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则常数的值为（    ）

A．0或2 B．0或 C．2 D．

【答案】A

【解析】根据题意，求得，讨论和时，满足，求出的值.

【详解】

解：由题可知：，，

，即，

当时，，无解，则，符合题意，

当时，，

，,

，可知，解得，

综上得：或，

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集的概念和集合间的关系，属于基础题.

2．已知为虚数单位，若．则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】利用复数的除法运算化简复数，即可得答案；

【详解】

，

复数在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的除法运算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

3．为得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A．向右平行移动个单位 B．向左平行移动个单位

C．向右平行移动个单位 D．向左平行移动个单位

【答案】C

【解析】利用诱导公式化简函数，再利用左加右减的平移原则，即可得答案；

【详解】

，

又，

只需要将函数的图象向右平行移动个单位，可得函数的图象.

故选：C.

【点睛】

本题考查诱导公式、图象平移变换，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

4．某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（    ）

A．60种 B．30种 C．120种 D．24种

【答案】A

【解析】先对五门课进行全排列，其中不考虑数学、历史的顺序，即可得答案；

【详解】

先对五门课进行全排列，其中不考虑数学、历史的顺序，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查排列的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意五个元素中不考虑两个元素的顺序时，要除以.

5．执行如图所示的程序框图．若输入的，则输出的（    ）

A．20 B．40 C．62 D．77

【答案】B

【解析】根据程序框图的流程计算，直到时，退出循环，得输出的的值.

【详解】

解：输入，，

，否，

循环：，否，

，否，

，是，

退出循环，输出.

故选：B.

【点睛】

本题考查循环结构的程序框图，属于基础题.

6．—个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】观察三视图，可知几何体是由棱长为4的四棱柱截去四分之一的圆柱，利用柱体的体积公式，即可求得几何体的体积.

【详解】

解：由三视图可知，几何体是由棱长为4四棱柱截去四分之一的圆柱得来的，

则：，

，

几何体的体积为：，

即：.

故选：C.

【点睛】

本题考查由三视图求原几何体的体积，涉及柱体的体积，考查计算能力.

7．已知实数满足约束条件则的最大值等于（    ）

A．10 B．12 C．16 D．22

【答案】B

【解析】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数通过的特殊点求出目标函数的最大值即可.

【详解】

解：满足条件，表示的可行域如图：

当经过的交点时，取得最大值，

最大值为：.

故选：B.

【点睛】

本题考查简单的线性规划，正确画出约束条件表示的可行域，找出目标函数经过的特殊点是解题的关键，考查计算能力与数形结合.

8．己知抛物线的焦点为，经过点作直线，与拋物线在第一象限交于两点．若点在以为直径的圆上，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】由题可知，点在以为直径的圆上，则，设直线：，代入抛物线中，写出韦达定理，结合，化简后即可求出直线的斜率.

【详解】

解：由题意与抛物线在第一象限交于两点，且点在以为直径的圆上，

，即，

抛物线的焦点为，

设直线：，

代入抛物线中，化简得：

，

，解得，

，，

，

，

，

，解得：.

故选：B.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的基本性质、韦达定理和向量垂直的坐标运算，考查化简和计算能力.

9．己知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系，即可得答案；

【详解】

.

故选：C.

【点睛】

本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意“1”的代换的运用.

10．己知正的顶点都在球的球面上，正的边长为．若球心到所在平面的距离为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出正外接圆的半径，再求出球的半径，由此能求出球的表面积.

【详解】

解：边长为正的顶点都在球的球面上，

正外接圆的半径：，

球心到所在平面的距离为，

球的半径：，

球的表面积：.

故选：A.

【点睛】

本题考查球的表面积，还涉及球的截面性质和三角形外接圆的半径，考查计算能力.

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右顶点，点是双曲线的右支上一点，．若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【解析】根据图象可知，，根据余弦定理运算得出，即可求出求出离心率.

【详解】

解：已知点是双曲线的右支上一点，，

根据双曲线的定义，，求得，

因为是以为顶角的等腰三角形，

则：，

由图可知，

且，，

则由余弦定理得：

即：，

所以，

则：，

所以，即，

所以，即，

解得：或（舍去）

故选：D    .

【点睛】

本题考查双曲线的定义和离心率，余弦定理的应用，考查计算能力.

12．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则的最小值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【解析】设，利用四边形的面积可得，根据三点共线可求得的值，再对等式两边平方，利用基本不等式可求得最值.

【详解】

设，则，.

，

三点共线，，

，

，等号成立，当且仅当

的最小值为.

故选：D.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用、模的运算、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

二、填空题

13．在的二项展开式中，的系数等于___________（用数字作答）．

【答案】28；

【解析】利用二项式定理的展开式可得，利用求得的值，即可得答案；

【详解】

，

当，

的系数等于.

故答案为：28.

【点睛】

本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

14．己知离散型随机变量的分布列如下：

若的数学期望等于，则__________．

【答案】；

【解析】根据分布列的概率和为1，及期望的计算公式，可得关于的方程，解方程即可得答案；

【详解】

由题意得：，

，

解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的期望及性质，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.

15．已知在单调递减，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】利用在恒成立，可得的取值范围.

【详解】

在单调递减，在恒成立，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b2＝1，c＝1，则a﹣b的取值范围为_____．

【答案】

【解析】根据，，由余弦定理知，再根据正弦定理得到，，于是，最后利用三角函数的性质就可求出相应的范围.

【详解】

因为，，

所以.

.

因为，所以.

又因为，

所以，，.

.

因为，所以.

，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定义的应用，同时考查了三角函数的值域问题，属于中档题.

三、解答题

17．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩（单位：分），得到如下图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．

其中30名男生该学科成绩分成以下六组，，．

（1）请完成下面的列联表（单位：人）：

（2）根据（1）中的列联表，能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？

附：，其中．

【答案】（1）见解析（2）有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．

【解析】（1）根据频率分布直方图，计算出男生成绩优良人数，再根据茎叶图数据，得出女生优良的人数，即可求出其他数据，即可写出列联表；

（2）根据题给公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.

【详解】

解：（1）根据题意，可知不低于80分为成绩优良，

由频率分布直方图可知，男生成绩优良人数为：（人），

则男生中成绩不优良的人数为：（人），

由茎叶图可知，女生成绩优良人数为：11人，成绩不优良人数为9人，

得出列联表如下：

（2）因为

，

∴有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，以及根据茎叶图和频率分布直方图求频数．

18．已知数列的前项和为，，，设，数列的前项和为；．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）利用递推关系可得为等比数列求出其通项公式，即可得到；

（2）求出，再利用裂项相消法求，即可得到不等式的证明；

【详解】

（1）解：∵，∴，即．

∴．

∵，当时，，

∴数列的通项公式为．

（2）证明：由（1）知：．

∴

∴

．

∵是正整数，

∴．

∴．

∴．

【点睛】

本题考查数列通项公式求解、裂项相消法求和、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

19．如图，在三棱柱中，，分别是的中点．

（1）求证：；

（2）若三棱柱是直三棱柱，，，求的正弦值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）根据等腰三角形的性质可证得，再利用平行公理，即可证得；

（2）设，作，由（1）知，所以，由己知得两两互相垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得答案.

【详解】

（1）证明：∵是的中点，，∴．

∵分别是的中点，∴．

在三棱柱中，．

∴．

∴．

（2）解：如图，设，作，由（1）知，所以．

由己知得两两互相垂直．

由得，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得

，．

设平面的一个法向量为，则，．

∴，取，解得

∴是平面的一个法向量．

同理可求得平面的一个法向量．

设二面角的平面角的大小为，则．

∵，

∴．

∴二面角的正弦值为．

【点睛】

本题考查平行公理的应用、面面角的向量求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意正弦值恒为正的.

20．已知是自然对数的底数，函数，．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在单调递增，判断函数是否有零点．若有，有多少个？若没有，说明理由．

【答案】（1）（2）没有零点．见解析

【解析】（1）对函数进行求导，再利用导数的几何意义，即可求得切线方程；

（2）由在单调递增可得，再证明函数在时，函数值均大于0，即可证得函数无零点.

【详解】

解：（1）若，，

∴

∴当时，．

∴曲线在点处的切线的斜率．

∴曲线在点处的切线方程为．

（2）函数没有零点．

∵在单调递增，

∴当时，，即．

∴．

由得，且．

设，则．

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

∴当时，取得最小值，

即．

∵，

∴，即．

∴．

∴，即．

∴在定义域单调递增．

∵，

∴当时，，

当时，，．

∴当时，．

∴无实数解，即函数没有零点．

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程、函数零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用函数值大于0证明函数无零点的方法.

21．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，以线段为直径的圆经过点，线段与轴交于点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与椭圆交于两点，且．在平面直角坐标系中，是否存在定圆，动直线与定圆都相切？若存在，求出圆所有的方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）（2）存在，．

【解析】（1）利用两个直角三角形相似得到比例关系，进而求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）利用直线的特殊情况可得圆存在，且为，再证明对一般的直线，定圆也符合题意.

【详解】

解：（1）设椭圆的方程为，．

∵，，

∴．

∴，即．

∴．由已知得，解得．由得．

∴椭圆的方程为．

（2）当动直线的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆存在，则圆心只能为原点设圆，设圆的半径为，则斜率为0的动直线有两条，方程分别为和；斜率不存在的动直线有两条，方程分别为和．这四条直线与定圆都相切，则点在椭圆上．

∴，解得，即．

∴若满足条件的定圆存在，则其方程只能是．

下面证明方程为的圆满足题设要求•

①当直线的斜率不存在时，显然直线与圆相切．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，，．

由得，即．

∵动直线与椭圆交于两点，

∴方程有两个不相等的实数根．

∴，即，

且

∵，

∴

．

∴．

∵圆心即原点到直线的距离，

∴直线与圆：相切．

综上述，存在一个定圆，动直线都与圆相切，且圆的方程为．

【点睛】

本题考查平面几何中的相似、椭圆方程求解、探究性问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线斜率是否存在的讨论.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）直接写出曲线的普通方程；

（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用互化公式即可将曲线的极坐标方程化成普通方程；

（2）消去参数，求出曲线的普通方程为，从而得出的参数方程，由题可知，，设，利用两点间的距离公式求出，运用二次函数的性质求出，从而得出的最大值．

【详解】

解：（1）曲线的普通方程为；

（2）由曲线的参数方程为（为参数），

得曲线的普通方程为，

它是一个以为圆心，半径等于2的圆，

则曲线的参数方程为：为参数），

∵是曲线上的点，是曲线上的点，

∴．

设，

则

，

∴当时，，

∴．

【点睛】

本题考查利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，利用消参法将参数方程化为普通方程，运用曲线的参数方程表示点坐标，以及结合两点间的距离和二次函数的性质，求出距离最值，考查转化思想和计算能力.

23．己知，是的最小值．

（1）求；

（2）若，，且，求证：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）根据绝对值不等式的性质，即可求出的最小值，即可得出；

（2）由已知，得出，则，即可得出，即可得出证明.

【详解】

（1）解：由绝对值不等式的性质得：

，

又∵，

∴．

（2）证明：∵，，且，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查利用绝对值不等式的性质求函数最值，以及通过综合分析法证明不等式，考查计算能力.