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    2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学(文)试题(解析版)

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    2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,若,则常数的值为(   

    A02 B0 C2 D

    【答案】A

    【解析】根据题意,求得,讨论时,满足,求出的值.

    【详解】

    解:由题可知:

    ,即

    时,,无解,则符合题意,

    时,

    ,

    ,可知,解得

    综上得:

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查集合的交集的概念和集合间的关系,属于基础题.

    2.已知为虚数单位,若.则复数在复平面内对应的点位于(   

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【答案】A

    【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数,求出在复平面内对应的点的坐标,即可求出答案.

    【详解】

    解:

    则复数在复平面内对应的点的坐标为:,位于第一象限.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的代数表示法及其几何意义.

    3.设向量,若,则   

    A B C-2 D2

    【答案】D

    【解析】根据,则,构造关于的方程,解方程即可求出的值.

    【详解】

    解:

    解得:.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查向量平行的坐标运算,属于基础题.

    4.为得到函数的图象,只需要将函数的图象(   

    A.向左平行移动个单位 B.向右平行移动个单位

    C.向左平行移动个单位 D.向右平行移动个单位

    【答案】D

    【解析】把函数化简为,根据三角函数平移的规律,即可求出答案.

    【详解】

    解:

    要得到函数的图象,

    只需将函数的图象向右平行移动个单位.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查三角函数的平移伸缩的规律,三角函数的平移原则为:左加右减上加下减.

    5.执行如图所示的程序框图.若输入的,则输出的   

    A20 B40 C62 D77

    【答案】B

    【解析】根据程序框图的流程计算,直到时,退出循环,得输出的的值.

    【详解】

    解:输入

    ,否,

    循环:,否,

    ,否,

    ,是,

    退出循环,输出.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查循环结构的程序框图,属于基础题.

    6个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的体积为(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】观察三视图,可知几何体是由棱长为4的四棱柱截去四分之一的圆柱,利用柱体的体积公式,即可求得几何体的体积.

    【详解】

    解:由三视图可知,几何体是由棱长为4四棱柱截去四分之一的圆柱得来的,

    则:

    几何体的体积为:

    即:.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查由三视图求原几何体的体积,涉及柱体的体积,考查计算能力.

    7.已知实数满足约束条件的最大值等于(   

    A10 B12 C16 D22

    【答案】B

    【解析】画出约束条件表示的可行域,确定目标函数通过的特殊点求出目标函数的最大值即可.

    【详解】

    解:满足条件,表示的可行域如图:

    经过的交点时,取得最大值,

    最大值为:.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查简单的线性规划,正确画出约束条件表示的可行域,找出目标函数经过的特殊点是解题的关键,考查计算能力与数形结合.

    8.己知抛物线的焦点为,经过点作直线与拋物线在第一象限交于两点.若点在以为直径的圆上,则直线的斜率为(   

    A B C D1

    【答案】B

    【解析】由题可知,点在以为直径的圆上,则,设直线,代入抛物线中,写出韦达定理,结合,化简后即可求出直线的斜率.

    【详解】

    解:由题意与抛物线在第一象限交于两点,且点在以为直径的圆上,

    ,即

    抛物线的焦点为

    设直线

    代入抛物线中,化简得:

    ,解得

    ,解得:.

    故选:B.

    【点睛】

    本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及抛物线的基本性质、韦达定理和向量垂直的坐标运算,考查化简和计算能力.

    9.己知,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】利用同角三角函数间的基本关系化简,将的值代入计算即可求出值.

    【详解】

    解:

    .

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查同角三角函数基本关系和二倍角的正弦公式的运用,熟练掌握三角函数基本关系是解本题的关键.

    10.己知正的顶点都在球的球面上,正的边长为.若球心所在平面的距离为,则球的表面积为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】先求出外接圆的半径,再求出球的半径,由此能求出球的表面积.

    【详解】

    解:边长为的顶点都在球的球面上,

    外接圆的半径:

    球心所在平面的距离为

    的半径:

    的表面积:.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查球的表面积,还涉及球的截面性质和三角形外接圆的半径,考查计算能力.

    11.已知双曲线的左、右焦点分别为,点是双曲线的右顶点,点是双曲线的右支上一点,.若是以为顶角的等腰三角形,则双曲线的离心率为(   

    A3 B C D

    【答案】D

    【解析】根据图象可知,,根据余弦定理运算得出,即可求出求出离心率.

    【详解】

    解:已知点是双曲线的右支上一点,

    根据双曲线的定义,,求得

    因为是以为顶角的等腰三角形,

    则:

    由图可知

    则由余弦定理得:

    即:

    所以

    则:

    所以,即

    所以,即

    解得:(舍去)

    故选:D    .

    【点睛】

    本题考查双曲线的定义和离心率,余弦定理的应用,考查计算能力.

    12.已知单调递减,则的取值范围为(   

    A B-3,3 C D(-5,5)

    【答案】C

    【解析】求出函数的导函数,由函数单调递减,则上恒成立,即可求出的取值范围.

    【详解】

    解:

    要使函数单调递减,

    上恒成立,

    上恒成立,

    则:,即:

    解得:

    的取值范围为:.

    故选:C.

    【点睛】

    本题考查利用函数的单调性求参数范围,通过导数解决函数恒成立问题.

     

     

    二、填空题

    13.对总数为的一批零件抽取一个容量为40的样本.若每个零件被抽取的概率为0.2,则=___________

    【答案】200

    【解析】对总数为的一批零件抽取一个容量为40的样本,则每个零件被抽取的概率都相等,据此即可求出.

    【详解】

    解:每个零件被抽取的概率都相等,

    ,解得:.

    故答案为:200.

    【点睛】

    本题考查概率的求法,以及抽样方法的特点是每个个体被抽到的机会都相等.

    14.已知,若函数的图象关于原点成中心对称图形,则常数的值为___________

    【答案】

    【解析】根据题意,可知函数定义域为且为奇函数,得到,即可求出的值.

    【详解】

    解:由题意知,函数的图象关于原点成中心对称图形,

    函数为奇函数,且定义域为

    化简得:,解得:

    常数的值为:.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查奇函数的性质和图像特征,属于基础题.

    15.已知的三个内角分别为.若,则的值是___________

    【答案】

    【解析】运用正弦定理角化边公式和余弦定理解三角形,即可得的值.

    【详解】

    解:设的三个的对边分别为:

    中,

    由正弦定理化简得:

    可得:

    则余弦定理得:

    .

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查计算能力.

    16.已知平行四边形的面积为为线段的中点.若为线段上的一点,且,则的最小值为___________

    【答案】

    【解析】利用向量的加减法运算,求出,即可得出,运用向量的数量积运算求出,再利用基本不等式求出的最小值,即可得出的最小值.

    【详解】

    解:由题可知,平行四边形的图象如下:

    所以

    则有:,解得:

    平行四边形的面积为

    即:

    即:

    所以

    ,当且仅当:时,取等号,

    的最小值为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查平面向量的应用,涉及向量加减法运算、向量的数量积运算和模以及运用基本不等式求最值,考查转化思想和计算能力.

     

    三、解答题

    17.某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系,采用分层抽样的方法,从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩(单位:分),得到如下图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定不低于80分为成绩优良.

    其中30名男生该学科成绩分成以下六组,

    1)请完成下面的列联表(单位:人):

     

    成绩优良人数

    成绩非优良人数

    总计

    男生

     

     

    30

    女生

     

     

    20

    总计

     

     

    50

     

    2)根据(1)中的列联表,能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系?

    附:,其中

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.01

    0.005

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

     

     

    【答案】1)见解析(2)有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系.

    【解析】1)根据频率分布直方图,计算出男生成绩优良人数,再根据茎叶图数据,得出女生优良的人数,即可求出其他数据,即可写出列联表;

     

    2)根据题给公式,求出,与临界值比较,即可得出结论.

    【详解】

    解:(1)根据题意,可知不低于80分为成绩优良,

    由频率分布直方图可知,男生成绩优良人数为:(人),

    则男生中成绩不优良的人数为:(人),

    由茎叶图可知,女生成绩优良人数为:11人,成绩不优良人数为9人,

    得出列联表如下:

     

    成绩优良人数

    成绩非优良人数

    总计

    男生

    9

    21

    30

    女生

    11

    9

    20

    总计

    20

    30

    50

     

    2)因为

    90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系.

    【点睛】

    本题考查独立性检验的应用,以及根据茎叶图和频率分布直方图求频数.

    18.已知数列的前项和为,设,数列的前项和为;.

    1)求数列的通项公式;

    2)求证:

    【答案】12)见解析

    【解析】1)由于,根据,得出,可证出数列为等比数列,根据等比数列的通项公式,求出,即可求出,对进行检验,即可得出数列的通项公式;

     

    2)由(1)知:,求得,利用裂项公式得出,再利用裂项相消法求出的前项和为.

    【详解】

    1)解:

    ,即

    所以数列为等比数列,首项为,公比

    时,

    时,

    数列的通项公式为

    2)证明:由(1)知:

    【点睛】

    本题考查根据的关系和利用公式求等比数列的通项公式,考查证明等比数列,以及利用裂项相消法求数列的前项和,考查计算能力.

    19.如图,在三棱柱中,分别是的中点,设到平面的距离为到平面的距离为

    1)求证:

    2)若三棱柱是直三棱柱,,求的值.

    【答案】1)见解析(2

    【解析】1)因为的中点,,通过等腰三角形的性质,可得出,利用三角形的中位线性质,得出,根据棱柱的性质,进而可证出

     

    2)设,由题设得,分别求出,通过三棱锥等体积法,,即可求出的值.

    【详解】

    1)证明:的中点,

    分别是的中点,

    在三棱柱中,

    2)设,由题设得

    所以

    由题设可得

    【点睛】

    本题考查线线垂直的证明和利用等体积法求点到面的距离,还涉及等腰三角形的性质、三角形的中位线性质和棱锥的体积公式,考查转化思想和推理能力.

    20.已知函数

    1)当时,求曲线在点处的切线方程;

    2)当时,求证:曲线有公共点.

    【答案】12)见解析

    【解析】1)当时,,则,通过导数的几何意义求出切线斜率,再利用点斜式求出切线方程;

     

    2)由,构造函数,求导,通过导数求出函数的单调性和最小值,由题知,则,即,进而可得出结论.

    【详解】

    解:(1)当时,

    所求切线的斜率

    曲线在点处的切线方程为

    2)证明:的定义域为

    ,则

    时,,即上单调递减;

    时,,即上单调递增,

    时,取得最小值,

    .

    ,即

    曲线有公共点,即方程有实数解,

    方程有实数解,即曲线有公共点,

    时,曲线有公共点.

    【点睛】

    本题考查利用导数的几何意义求切线方程,以及利用导数研究函数的单调性和最值,考查计算能力.

    21.已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,离心率为分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,以线段为直径的圆经过点,线段轴交于点,且

    1)求椭圆的方程;

    2)设动直线与椭圆交于两点,且.求证:动直线圆相切.

    【答案】12)见解析

    【解析】1)根据双曲线和圆的性质可知,,所以,由相似比得出,根据离心率求出,再根据,求出,即可求得椭圆的标准方程;

     

    2)根据题意,分类讨论动直线的斜率不存在时和斜率存在时,联立直线和椭圆方程,求出韦达定理,结合,以及点到直线的距离,化简后即可得出证明.

    【详解】

    解:(1)由双曲线和圆的性质,可知:

    设椭圆的方程为

    ,即

    由已知得,解得

    ,得

    椭圆的方程为

    2)证明:当动直线的斜率不存在时,

    的方程为

    ,得

    直线与椭圆交于两点,

    方程有两个不相等的实数根,

    ,且

    ,即

    圆心到直线的距离

    直线与圆相切;

    当直线的斜率存在时,

    设直线的方程为,即

    动直线与椭圆交于两点,

    方程有两个不相等的实数根,

    ,即

    化简得

    圆心即原点到直线的距离

    直线与圆相切,

    综上所述,动直线与圆相切.

    【点睛】

    本题考查椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系的应用,涉及联立方程组、韦达定理、点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系,考查计算能力.

    22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

    1)直接写出曲线的普通方程;

    2)设是曲线上的动点,是曲线上的动点,求的最大值.

    【答案】1;(2

    【解析】1)利用互化公式即可将曲线的极坐标方程化成普通方程;

     

    2)消去参数,求出曲线的普通方程为,从而得出的参数方程,由题可知,,设,利用两点间的距离公式求出,运用二次函数的性质求出,从而得出的最大值.

    【详解】

    解:(1)曲线的普通方程为

    2)由曲线的参数方程为为参数),

    得曲线的普通方程为

    它是一个以为圆心,半径等于2的圆,

    则曲线的参数方程为:为参数),

    是曲线上的点,是曲线上的点,

    时,

    【点睛】

    本题考查利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程,利用消参法将参数方程化为普通方程,运用曲线的参数方程表示点坐标,以及结合两点间的距离和二次函数的性质,求出距离最值,考查转化思想和计算能力.

    23.己知的最小值.

    1)求

    2)若,且,求证:

    【答案】12)见解析

    【解析】1)根据绝对值不等式的性质,即可求出的最小值,即可得出

     

    2)由已知,得出,则,即可得出,即可得出证明.

    【详解】

    1)解:由绝对值不等式的性质得:

    2)证明:,且

    【点睛】

    本题考查利用绝对值不等式的性质求函数最值,以及通过综合分析法证明不等式,考查计算能力.

     

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