千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第100炼 利用同构特点解决问题

 第100炼 利用同构特点解决问题

一、基础知识：

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式

（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

二、典型例题：

例1：（2015天津十二校联考）设，满足 ，则（    ）

A.                  B.               C.                D. 

思路：本题研究对象并非，而是，进而可变形为，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解

解：

设，可得为奇函数，由题意可得：

答案：B

例2：若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是_____________

思路：注意到是增函数，从而得到，即，发现两个式子为的同构式，进而将同构式视为一个方程，而为该方程的两个根，的取值只需要保证方程有两根即可

解：为增函数 

为方程在上的两个根，即有两个不同的根

令

所以方程变形为：，结合图像可得：

答案：

例3：设，则|“”是“”的（　　）

A. 充分不必要条件                   B. 必要不充分条件 

C. 充要条件　                       D. 既不充要又不必要条件

思路：观察可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数，分析其单调性。可得为增函数。所以，即，所以是充要条件

答案：C 

例4：若，则（     ）

A.                    B.

C.                             D.

答案：C

思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将分居在不等式两侧后都具备同构的特点， 所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在的单调性即可

解： A选项：，设

，设，则有恒成立，所以在单调递增，所以，从而存在，使得，由单调性可判断出：

，所以在不单调，不等式不会恒成立

B选项：，设可知单调递增。所以应该，B错误

C选项：，构造函数，，则在恒成立。所以在单调递减，所以成立

D选项：，同样构造，由C选项分析可知D错误

答案：C

例5：已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（      ）

A.                B.              C.                 D. 

思路：观察条件可变形为：，从而得到等式左右的结构均为的形式，且括号内的数间隔为1。所以。因为为偶函数，所以，由可得，进而

答案：A

例6：如果，那么的取值范围是________

思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于的项分居在不等号两侧：，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函数，能够判断是奇函数且单调递增。所以不等式等价于，即，所以，结合，可得

答案：

例7：如图，设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点

解：设，的斜率为

则，联立方程消去可得：

，整理可得：

，因为与双曲线相切

所以

    代入可得：

即

即

同理，切线的方程为

在切线上，所以有

满足直线方程，而两点唯一确定一条直线

  所以当时，无论为何值，等式均成立

点恒在直线上，故无论在何处，恒过定点

例8：已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，离心率为

（1）求椭圆的方程

（2）过右焦点作直线交椭圆于，交轴于，若，求

解：（1）  

 解得

（2）思路：本题肯定从入手，将向量关系翻译成坐标的方程，但观察发现两个等式除了不同，系数不同，其余字母均相同。且也仅是角标不同。所以可推断由列出的方程是同构的，而在同一椭圆上，所以如果用表示，代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得：，所以为方程的两个不同根，进而利用韦达定理即可得到

解：由（1）得，设直线，可得，设

可得： ，由可得：

①

因为在椭圆上，，将①代入可得：

对于， ，

同理可得：

为方程的两个不同根

例9：已知函数，为正常数，若，且对任意，都有，求的取值范围．

思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令，则不等式变形为，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同结构视为函数，从而由且可知只需为增函数即可。从而只需不等式恒成立即可，从而求出的范围

解：，不妨设，则恒成立不等式转化为：

设，则由恒成立和可得：

只需在单调递增即可

恒成立

即恒成立   所以只需

令

在单调递减，在单调递增

例10：已知数列 满足，且

求数列的通项公式

思路：本题递推公式较为复杂，所以考虑先化简分式，观察到分子中含有分母的项，所以想到分离常数简化分式，即，寻求相邻同构的特点，转化为，即可设，递推公式变为，则能够求出通项公式，进而求出

解：

设，则递推公式变为

，且

为公差是的等差数列

，解得

小炼有话说：同构式在处理数列问题时，通常应用在构造辅助数列求通项公式。当递推公式比较复杂时，构造出和的同构式，其中关于的表达式构造出 分别与和相对应，进而寻找到辅助数列。