千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第97炼 不等式选讲
展开第97炼 不等式选讲
一、基础知识：
（一）不等式的形式与常见不等式：
1、不等式的基本性质：
（1）
（2）（不等式的传递性）
注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立
（3）
（4）
（5）
（6）
2、绝对值不等式：
（1）等号成立条件当且仅当
（2）等号成立条件当且仅当
（3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当
3、均值不等式
（1）涉及的几个平均数：
① 调和平均数：
② 几何平均数：
③ 代数平均数：
④ 平方平均数：
（2）均值不等式：，等号成立的条件均为：
（3）三项均值不等式：
①
②
③
4、柯西不等式：
等号成立条件当且仅当或
（1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当
（2）柯西不等式的几个常用变形
① 柯西不等式的三角公式：
②
②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。
③
5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：
即“反序和乱序和顺序和”
（二）不等式选讲的考察内容：
1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立
2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”
3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节）
二、典型例题：
例1：若不等式恒成立，则的取值范围为________．
思路：本题为恒成立问题，可知，所以只需求出的最小值即可，一种思路可以构造函数，通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数：，进而得到，另一种思路可以想到绝对值不等式：，进而直接得到最小值，所以，从而
答案：
例2：若存在实数使得成立，求实数的取值范围
思路：本题可从方程有根出发，得到关于的不等式，从而解出的范围
解：依题意可知二次方程有解
即
当时，
当时，恒成立
当时，
综上所述，可得
例3：已知函数
（1）当时，解不等式
（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围
（1）思路：所解不等式为，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式
解：（1）当时，
当时，
当时，
综上所述：不等式的解集为
（2）思路：若不等式恒成立，可知只需即可，含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数，通过分析函数性质即可得到，所以
解：恒成立
考虑
在单调递减，在单调递增
例4：已知都是正数,且,求的最大值
思路一：已知为常数，从所求入手，发现被开方数的和为也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值
解：
等号成立当且仅当
思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：，从而可得：即，所以可知
小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下：
例5：已知是实数，且，则的最大值是__________
思路：考虑将向进行靠拢，由柯西不等式可知，对照条件可知令即可，所以，则
答案：
小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。
例6：已知实数满足，则的取值范围是____________
思路：本题的核心元素为，若要求的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于的不等关系，考虑到，联想到柯西不等式，则有，代入可得：解得：，验证等号成立条件：在时均有解。
答案：
例7：已知均为正数，求证：，并确定为何值时，等号成立
思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中互为倒数时，，右侧为一个常数。，从而将左侧的项均转化为与相关的项，然后再利用基本不等式即可得到最小值，即不等式得证
解：由均值不等式可得：
等号成立条件：
例8：已知
（1）若，求的最小值
（2）求证：
（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与找到联系，从而想到柯西不等式的变式：，从而
解：
由柯西不等式可得：
（2）所证不等式等价于：，观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即： ，三式相加即完成证明
证明：由均值不等式可得：
三式相加：
即
小炼有话说：对于求倒数和（即为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供使用：和，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。
例9：设，求证：
思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于，化简后可得：①，所证不等式为轮换对称式，则不妨给定序，即，则，由①的特点想到排序不等式，则为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有，两式相加即可完成证明。
证明：
将所证不等式两边同取对数可得：
所证不等式为轮换对称式
不妨设
可得：
即证明不等式
小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即，从而能够使用排序不等式。
例10：设正数满足
（1）求的最大值
（2）证明：
（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由得，则，下面考虑将进行转化，向 靠拢，利用基本不等式进行放缩，可得：，再求关于的表达式的最大值即可。
解：
的最大值为，此时
（2）思路：由（1）可知的最大值为，且所证不等式的左边分母含有项，所以考虑向的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：，可得：
，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证明不等式
解：由柯西不等式可得：
由（1）知
等号成立条件：
三、历年好题精选
1、设
（1）求证：
（2）若不等式对任意非零实数恒成立，求的取值范围
2、（2014吉林九校联考二模，24）已知关于的不等式
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为，求实数 的取值范围．
3、（2015，福建）已知，函数的最小值为4
（1）求的值
（2）求的最小值
4、（2015，新课标II）设均为正数，且，证明：
（1）若，则
（2）是的充要条件
5、（2015，陕西）已知关于的不等式的解集为
（1）求实数的值
（2）求的最大值
6、已知定义在上的函数的最小值为
（1）求的值
（2）若是正实数，且满足，求证：
7、（2014，江西）对任意的，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8、（2014，浙江）（1）解不等式：
（2）设正数满足，求证：，并给出等号成立条件
9、（2016，苏州高三调研）设函数
（1）证明：
（2）若，求实数的取值范围
习题答案：
1、解析：（1）
（2）恒成立不等式为：
设
当时，
当时，不成立
当时，
2、解析：（1）时，不等式为
或，解得
（2）问题转化为，不等式恒成立
设
或
3、解析：（1）
（2）
，等号成立条件：
4、解析：（1）
从而不等式得证
（2）若，则
即
，由（1）可得
若，则
即
综上所述：是的充要条件
5、解析：（1）
不等式解得：
（2）由（1）可得：
由柯西不等式可得：
6、解析：（1）
（2）由柯西不等式可得：
7、答案：C
解析：
8、解析：（1）当时，解得
当时，解得
当时。解得
综上所述：解集为
（2）由可得：
由柯西不等式可得：
等号成立条件：
9、解析：（1）
（2）即
时，不等式转化为：
解得：
当时，
解得：
综上所述：不等式的解集为：
