千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第30炼 y=Asin（wx t）的解析式的求解

第30炼 函数解析式的求解

    在有关三角函数的解答题中，凡涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得得到，本讲主要介绍求解解析式的一些技巧和方法

一、基础知识：

（一）表达式的化简：

1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）

（1）降幂公式：

（2）

（3）两角和差的正余弦公式

（4）合角公式：，其中（这是本讲的主角，也是化简的终结技）

2、关于合角公式：的说明书：

（1）使用范围：三个特点：① 同角（均为），②齐一次，③正余全

（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为的形式了，通过以下三步：

①一提：提取系数：，表达式变为：

② 二找：由，故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角），如，可得：

③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：

（3）举例说明：

①

②

③

（4）注意事项：

① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角

② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：

，可视为，那么此时表达式就变为：

，使用两角差的余弦公式：

所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式。找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式。

当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但与本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）

③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的来代替，再在旁边标注的一个三角函数值。

3、表达式的化简攻略：

   可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议：

（1）观察式子：主要看三点

① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）

② 确定研究对象：是以作为角来变换，还是以的表达式（例如）看做一个角来进行变换。

③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为的形式。例如：

齐二次式：，齐一次式：

（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式，（还有句老话：平方降幂）

例如：，确定研究对象了：，也齐一次，但就是角不一样（一个是 ，一个是）那么该拆则拆，将打开

于是就可合角了

（二）求解的值以确定解析式

1、的作用

（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关

（2）：称为频率，与的周期相关，即

（3）：称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点

2、的常规求法：

（1）：

① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到

② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：

（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解

① 如果相邻的两条对称轴为，则

② 如果相邻的两个对称中心为，则

③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则

注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。

（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围

3、确定解析式要注意的几个问题：

（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。

（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。

二、典型例题：

例1：化简：

解：原式

例2：化简：

解：

例3：

解：方法一：拆开化简

方法二：将视为一个整体，则

例4：如图，函数的图像经过点，且该函数的最大值为，最小值为，则该函数的解析式为（     ）

A.         B.

C.         D.

思路：由题目所给最值可得，图中所给两个零点的距离刚好是函数一个周期的长度。所以，此时解析式为，优先代入最值点，尽管其横坐标未在图上标明，但可知最大值点横坐标与的距离为，所以代入可得：，由可解得：，所以解析式为

答案：A

小炼有话说：

（1）本题在求时，最值点的横坐标未知。但为了避免结果的取舍，依然优先选择最值点，那么在的图像中可根据零点的位置结合图象和周期确定最值点的横坐标。只要最值点可求，就用最值点求得

（2）为什么不能用其它点？不妨以此题为例，代入零点求解再进行对比。代入可得：，从而在中的值有两个：，那么到底哪个是符合图像的呢？不妨再代入最值点验证，会发现时，，与图像不符，所以舍去。为什么代入最值点就算出一个解，而代入其它点会出两个解呢？从表达式上看源自正弦值与角的特点。一个周期里当正弦值取到时，对应的角只有一个，而正弦值取到时，会出现一个正弦值对应两个角的情况。所以自然就会出现多解问题。那么时对应的图像是什么样的呢？如右图所示：可发现其周期与零点和已知图像完全一致，只是在最值点处刚好关于轴对称。如果是曲线上的其它点也是会出现两个图像，而其中只有一个是正确的。当然有些题目对的取值范围刻画更加严格，那么代入非最值点也可得到唯一解。

（3）本题除了可用纯代数方法计算，还可以利用图像变换得到的取值，由前面计算出，可得函数图象从进行了横纵坐标的放缩，此时解析式为，这个函数图象的特点是过原点。而与已知图像比较，可得已知图像相当于图像向左平移了个单位。所以。利用图像变换求解析式关键要分析出所求图像与的联系（即如何平移得到）。

例5：如图所示为函数的部分图像，其中两点之间的距离为，那么_________

思路：如图可得，从而计算出，所以，进而

而，所以，此时，而，解得，所以

答案：

例6：已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式是（      ）

A.  B.

C.     D.

思路：，可先从周期入手确定的值，，所以，再由最值可得：，代入即可解出：，所以，即。从而的解析式为

答案：B

例7：已知函数的图像如图所示，，则（    ）

A.                B.              C.             D. 

思路一：可以考虑确定的解析式进而求出，如图可计算出，所以 ，取零点的中点可得对称轴

而，从而，解出一个值。所以，且，所以，进而

思路二：同思路一先解出，则，从图中可得与关于中心对称，从而

答案：C

小炼有话说：（1）本题中尽管没有给出最值，但是并不妨碍的求解。从计算过程中也可以看出，是可以消掉的。所以求关键在于找到最值点的横坐标

（2）思路二跳过了求解析式，而是利用周期性与对称性直接得到的值。对于函数中，处处暗藏着对称与周期的关系，巧妙运用这些关系可以在求函数值时事半功倍。

例8：已知函数的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，则的解析式为____________

思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离可得，从而，由最小值点可得到两个信息：一个是，另一个是点即为求所要代入的特殊点。此时，则，即，解得：，所以

答案：

例9：已知函数的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间最短距离为，直线是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________

思路：先求出的值，由题目所给最值可得：，再由对称轴距离为可求得，从而。此时函数解析式为，因为一条对称轴为，所以，由得：

，当取到最大值时，即，所以，进而，解析式为

答案：

例10：已知是函数 一个周期内图像上的五个点，如图所示，，为轴上的点，为图像上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，关于点中心对称，在轴上的投影为，则函数的解析式为____________

思路：设图像的最高点为，可知关于中心对称，关于点中心对称，所以与关于中心对称，所以在轴上的投影也为，而，所以可得在轴上的投影为，从而，此时 ，将代入可得：，所以 ，即，从而

答案：