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人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形教课内容课件ppt
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这是一份人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形教课内容课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了菱形的性质，有一个角是直角，有一组邻边相等，菱形就在我们身边，菱形的四条边都相等，菱形的判定，数学语言，cm²等内容，欢迎下载使用。
下面的图形中有你熟悉的吗？
越王勾践剑，一把在地下埋藏了2000多年的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列的黑色菱形暗花纹.
1. 理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题.
2. 探索并证明菱形的性质定理.
3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和方法.
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？``x``xk
有一组 的
∵四边形ABCD是平行四边形， AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.
可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：
问题：菱形的四条边在数量上有什么关系?
猜想：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:AB = BC = CD =AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
符号语言：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD
1.已知菱形的周长是36cm，那么它的边长是______.
2.已知一个正方形花坛的周长是48m，菱形花坛的边长是正方形花坛边长的2倍，则菱形花坛的周长是（ ）A.24m B.12m C.96m D.48m
观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形.
操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 :菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2:根据上面折叠过程，菱形的两对角线有什么关系?
猜想:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
符号语言:∵四边形ABCD是菱形∴ AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
比一比，猜一猜，填写下表：
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周长＝4AB＝4× ＝ (cm)．
利用菱形的性质求线段的长
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2 AB= 5，AO= 4
∴OB= 3∴BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8 cm.
例2 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，∴∠ABC=∠DAE， ∵∠DAE＝2∠BAE， 又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，
利用菱形的性质求证线段相等
∴∠BAE＝∠ADB.
4. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积呢?
【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗?
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
解：∵花坛ABCD是菱形，
利用菱形的面积公式解答问题
5.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形面积.
1.（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）A．20 B．24C．40 D．48
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2．
2.（2019•岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ） C.5cm
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ） A.18 B.16 C.15 D.14
3.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 ( ) A.10 B.12 C.15 D.20
4.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
5.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ .
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， ∴BD=2OB= cm；（2）S菱形ABCD= AC•BD = ×2× = （cm2）．
∵菱形ABCD的周长是8cm．∴AB=2cm，
如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
1.两组对边平行且相等；2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路.
1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法：
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）A．∠ABC=90° B．AC⊥BDC．AB=CD D．AB∥CD
猜想：四条边都相等的四边形是菱形 .
李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
∵AB=BC=CD=DA
一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例2 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
利用边相等判断四边形是菱形
2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
∵ MN是AC的垂直平分线∴AD=CD，OA=OC，AE=CE∵ CE∥AB，∠DAO=∠ECO ∴ △ADO ≌ △CEO ∴ AD=CE ∴AD=CD=CE=AE∴四边形ADCE是菱形
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
菱形性质和判定的综合应用
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，过点E作EH⊥BC, 则HE=∴菱形的边长为4，高为 ，∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
（2019•兰州）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．
解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，在Rt△AOB中，OB＝ ，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
1.下列命题中正确的是（ ）A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
证明：∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形.
5.如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
∴CD=ED=CF=EF,
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四边形ACFD是菱形．
已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形.
∴AO=CO, ∠AOE=90°
∴∠FOC=∠AOE=90°
∴ AD∥BC ∴AE∥FC
∴四边形AFCE是平行四边形
∴四边形AFCE是菱形
下面的图形中有你熟悉的吗？
越王勾践剑，一把在地下埋藏了2000多年的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列的黑色菱形暗花纹.
1. 理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题.
2. 探索并证明菱形的性质定理.
3. 经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和方法.
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？``x``xk
有一组 的
∵四边形ABCD是平行四边形， AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.
可以这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：
问题：菱形的四条边在数量上有什么关系?
猜想：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:AB = BC = CD =AD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
符号语言：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD
1.已知菱形的周长是36cm，那么它的边长是______.
2.已知一个正方形花坛的周长是48m，菱形花坛的边长是正方形花坛边长的2倍，则菱形花坛的周长是（ ）A.24m B.12m C.96m D.48m
观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形.
操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 :菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2:根据上面折叠过程，菱形的两对角线有什么关系?
猜想:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
符号语言:∵四边形ABCD是菱形∴ AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
比一比，猜一猜，填写下表：
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周长＝4AB＝4× ＝ (cm)．
利用菱形的性质求线段的长
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2 AB= 5，AO= 4
∴OB= 3∴BD= 2OB = 6 cm， AC= 2OA = 8 cm.
例2 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，∴∠ABC=∠DAE， ∵∠DAE＝2∠BAE， 又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，
利用菱形的性质求证线段相等
∴∠BAE＝∠ADB.
4. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积呢?
【思考】计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗?
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.
解：∵花坛ABCD是菱形，
利用菱形的面积公式解答问题
5.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形面积.
1.（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）A．20 B．24C．40 D．48
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2．
2.（2019•岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ） C.5cm
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ） A.18 B.16 C.15 D.14
3.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是 ( ) A.10 B.12 C.15 D.20
4.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
5.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ .
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， ∴BD=2OB= cm；（2）S菱形ABCD= AC•BD = ×2× = （cm2）．
∵菱形ABCD的周长是8cm．∴AB=2cm，
如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
1.两组对边平行且相等；2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
2. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路.
1. 掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 .
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法：
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）A．∠ABC=90° B．AC⊥BDC．AB=CD D．AB∥CD
猜想：四条边都相等的四边形是菱形 .
李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
∵AB=BC=CD=DA
一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例2 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
利用边相等判断四边形是菱形
2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
∵ MN是AC的垂直平分线∴AD=CD，OA=OC，AE=CE∵ CE∥AB，∠DAO=∠ECO ∴ △ADO ≌ △CEO ∴ AD=CE ∴AD=CD=CE=AE∴四边形ADCE是菱形
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
菱形性质和判定的综合应用
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，过点E作EH⊥BC, 则HE=∴菱形的边长为4，高为 ，∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
（2019•兰州）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求BD的长．
解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，在Rt△AOB中，OB＝ ，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
1.下列命题中正确的是（ ）A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
证明：∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形.
5.如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
∴CD=ED=CF=EF,
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四边形ACFD是菱形．
已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形.
∴AO=CO, ∠AOE=90°
∴∠FOC=∠AOE=90°
∴ AD∥BC ∴AE∥FC
∴四边形AFCE是平行四边形
∴四边形AFCE是菱形
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