安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：100分 时间：100分钟）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．
=2，故不是最简二次根式．
故选C．
2. 下列个数能成为勾股数的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数定义是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意；
B、，，不是正整数，则此项不是勾股数，不符合题意
C、，则此项不是勾股数，不符合题意；
D、，且都是正整数，则此项是勾股数，符合题意；
故选：D．
3. 下列各式中，正确的是 （ ）
A. ；B. ；
C. ；D. .
【答案】B
【解析】
【详解】A. ，此项错误
B.-=-5此项正确
C. 此项错误
D. 此项错误，
故选B.
考点：平方根
点评：本题难度较低，主要考查学生对平方根的学习．为易错题．常在正负符号上出错．
4. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（ ）
A. （x-3）2=-3 B. （x-3）2=6 C. （x-3）2=3 D. （x-3）2=12
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：移项，得x2－6x＝－3，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得
x2－6x＋(－3)2＝－3＋(－3)2，
即(x－3)2＝6．
故选B．
点睛：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5. 估计的运算结果应在( )
A. 1到2之间B. 2到3之间C. 3到4之间D. 4到5之间
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出原式=2+，再进行估算即可．
【详解】解：=，
∵的数值在1到2之间，
∴的数值在3到4之间．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算及无理数的估算是解题的关键．
6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 总有实数根
【答案】D
【解析】
【详解】∵△=b2−4ac=(k−1)2−4×(−k)=(k+1)2⩾0，
∴方程总有两个实数根．
故选D.
点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.解题关键是把判别式△转化成完全平方式与一个正数的和的形式，才能判断出它的正负性.总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0，﹤=﹥方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，﹤=﹥方程有两个相等的实数根；（3）△<0，﹤=﹥方程没有实数根.
7. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）
A. 小于1mB. 大于1mC. 等于1mD. 小于或等于1m
【答案】A
【解析】
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
【详解】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝=，
∴BB′＝OB−OB′＝12−＜1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
8. 在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少，去年上半年平均每周作业时长为分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，设每半年平均每周作业时长的下降率为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每半年平均每周作业时长的下降率为，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，列方程即可得到结论．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
可列方程为．
即．
故选：C．
9. 关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（ ）
A. 0B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义．
根据题意得到，，代入即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴
．
故选：A．
10. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了基本作图-作已知角的平分线，一般是结合几何图形的性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及逆定理．
利用作法得平分，根据“等角对等边”得出，由已知条件及勾股定理的逆定理证明是直角三角形，所以根据平行四边形的性质得到是直角，再由勾股定理即可求得的长度．
详解】解：由作法得平分，
，
∵四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
,
，
，
是直角三角形，即,
,
．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 二次根式中的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 当______时，代数式与的值互为倒数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题关键是根据题意列出方程．
根据互为倒数的两个代数式的积等于，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵代数式与的值互为倒数，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
13. 已知满足等式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查非负数的性质、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据非负性的性质求出与的值，再代入进行求值即可．
【详解】解：，
，
，
解得，
故．
故答案为：．
14. 若最简根式与是同类二次根式，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】由同类二次根式定义，得到，解方程，然后结合最简二次根式的定义，即可得到答案．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，
整理，可得，
解得 或，
当时，，不是最简二次根式，舍去；
当，，最简二次根式，符合题意，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义、最简二次根式的定义以及解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握相关定义，正确求出一元二次方程的解．
15. 如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2km2，则x的值为_____．
【答案】4或5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意表示出丙地的长和宽，正确列方程是解题关键．根据题意列一元二次方程，求解即可得到答案．
【详解】解：因为这块长方形的土地，长为，宽为，且甲和乙均为正方形，
所以观察图形得到丙的长为，丙的宽为，
根据丙地的面积为，列方程得：，即，
解得：，，
所以x的值为4或5 ．
故答案为：4或5
16. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，根据等腰三角形的顶点分三种情况讨论，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：由勾股定理可知：，分类讨论：
①为等腰三角形的顶点时，有，
即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示，
此时的底边；
②为等腰三角形顶点时，有，
即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示，
此时的底边为，，
在中，；
③为等腰三角形顶点时，有，如图所示，
此时点在线段的垂直平分线上，的底边为，
综上所述，当为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（共52分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确应用公式进行计算．
（1）先化简二次根式，再加减即可；
（2）先运用乘法公式个除法进行计算，再加减即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）该方程没有实数根
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
∴或
，；
【小问2详解】
，
，
，，，
该方程没有实数根．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）的值为1或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
20. 如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2,试判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】△ABC是等腰直角三角形，理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：根据全等三角形的性质得出AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，根据勾股定理的逆定理得出∠EAD=90°，求出∠ACB=90°，即可求出答案．
试题解析：△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，
∵AD2+DB2=DE2，
∴AD2+AE2=DE2，
∴∠EAD=90°，
∴∠EAC+∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
21. 请阅读下面的过程，完成相应的题目：
的整数部分是1，故的小数部分是．
（1）的整数部分是______；
（2）设分别是的整数部分和小数部分，则______，______；
（3）在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值．
【答案】（1）5 （2）2；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键．
（1）根据，得到，即可求解；
（2）根据，得到，进而确定m、n的值，即可求解；
（3）根据代入m和n的值整理得到，然后根据，为有理数解出、，即可求解．
【小问1详解】
∵，
，
的整数部分是；
【小问2详解】
∵
∴
∴
∴
∵分别是的整数部分和小数部分
∴，；
【小问3详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∵，为有理数
∴，
∴，
∴．
22. 校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：）
（1）求点D到线段AB的距离（结果保留整数）；
（2）利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？
【答案】（1）到线段的距离为米
（2）这辆车在本路段未超速
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用．
（1）过作于E，根据直角三角形两锐角互余求得，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值；
（2）根据直角三角形两锐角互余求得，，推得平分，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得，求得的值，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值；即可判断是否超速．
【小问1详解】
解：过作于E，如图：
则，
∵，
∴，
在中，，
∴（米），
故到线段的距离为米．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，，
则，
即平分，
∵，，
∴（米），
则（米），
在中，，，
∴（米），
故（米），
车速为（米/秒）
米/秒千米/时千米/时．
故这辆车在本路段未超速．
23. 在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
【答案】（1）
（2）75元
【解析】
【分析】（1）设丝绸条带的宽度为，根据题意得：，然后求解即可；
（2）设每件工艺品降价y元出售，根据题意可列方程，求解得到降价多少元，再用定价减去降价的钱即可．
【小问1详解】
解：设丝绸条带的宽度为，
根据题意，得．
整理，得，
解得，（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为．
【小问2详解】
解：设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：，
整理可得：
解得：．
所以售价为（元）．
答：该公司每天把销售单价定为75元时，当日所获利润为22500元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可．