2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是(    )

A. 勾股定理
B. 三角形内角和定理
C. 勾股定理的逆定理
D. 直角三角形的两锐角互余

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(    )

A. 三内角之比为：： B. 三边长之比为：：
C. 三内角之比为：： D. 三边长的平方之比为：：

5.  估算的结果(    )

A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间

6.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为，点，，均为格点，以点为圆心，长为半径作弧，交格线于点，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中据此规律，当时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若一元二次方程有解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

9.  空地上有一段长为米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园如图，已知木栅栏总长为米，所围成的长方形菜园面积为平方米若，，则(    )

A. 有一种围法 B. 有两种围法
C. 不能围成菜园 D. 无法确定有几种围法

10.  勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一如图，以的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作，左下不重叠部分的面积记作，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  二次根式有意义，则的取值范围是          ．

12.  计算 ______ ．

13.  如图是某路口草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道在草坪内走出了一条不该有的“捷径”某学习实践小组通过测量得的长约为米，的长约为米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌则提示牌上的“多行数步”是指多行______ 米

14.  设，是方程的两个根，则 ______ ．

15.  如图，正方体盒子的棱长为，为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为______ ．

16.  已知实数，且满足，请解决下列问题：
当时，的值为______ ；
当时，的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
求出空地的面积；
若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？

20.  本小题分
阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设，两边平方得：
，
即，，
．
，．
请利用上述方法，求的值．

21.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
若方程有两个实数根、，且，求的值．

22.  本小题分
一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件．
设每件衣服降价元，则每天销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示；
在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．

23.  本小题分
中，，是边上一点，连接，将沿翻折得，连接．
请根据题意，在图中补全图形；
求证是直角三角形；
若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：若，
则是直角三角形，且，
故选：．
由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得得出结论．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的乘法，加法，减法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、三内角之比为：：，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三内角之比为：：，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长的平方之比为：：，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先估算出的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理；由勾股定理求出是解决问题的关键．
由勾股定理求出，即可得出的长．
【解答】
解：连接，如图所示：

，
，
；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由表格中的数据得：，，
，
当时，，
．
故选：．
满足的三个正整数，称为勾股数；由表格中的规律，得到，由，即可求出的值．
本题考查勾股数，关键是掌握表格中数的变化规律．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有解，
且，
解得且，
故的取值范围且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．
本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，设矩形的边为米，则宽为米，

根据题意得：，
即：，
解得：，，
而，
，

所以只有一种围法，
故选：．
设矩形的边为米，则宽为米，根据矩形面积公式列方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设的直角边，，．
，
面积为的矩形的长和宽分别是，，
，
面积为的正方形的边长是，
，
，
，
，
．
故选：．
设的直角边，，得到，，由完全平方公式，勾股定理，即可求解．
本题考查勾股定理，完全平方公式，多项式的乘法，关键是应用勾股定理，完全平方公式进行计算．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，得，
解得，；
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解析】
解：原式
．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：在中，，米，米，
米，
米，
提示牌上的“多行数步”是指多行米，
故答案为：．
由勾股定理求出米，即可解决问题．
本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，



．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
正方体的棱长为，为的中点，
，，，
由勾股定理得，
答：蚂蚁需爬行的最短路程为，
故答案为：．
先把图中展开，根据勾股定理求出的长即可．
此题考查了平面展开最短路径问题，以及线段的性质：两点之间线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．
 

16.【答案】   

【解析】解：，，
，，
，
，
，
，是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：；
，，
，，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，且，
，，
，
，
故答案为：．
根据，，可知，，进一步可知，是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系求解即可；
根据，，，，进一步可知，是一元二次方程的两个实数根，且，根据根与系数的关系可得，，从而可得的值，进一步计算即可．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；




． 

【解析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
则，


平方米；
答：空地的面积平方米；
需费用元，
答：总共需投入元． 

【解析】连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，四边形面积等于三角形面积三角形面积，求出即可；
由求出的面积，乘以即可得到结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设，
则，
，
，
． 

【解析】根据给定的方法求解即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：

，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
解：由根与系数的关系得出：，，
由得：，
解得：． 

【解析】根据根的判别式得出，据此可得答案；
根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 

22.【答案】   

【解析】解：设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元；
商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
，
此方程无解，
即不可能每天盈利元．
根据每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，可得结论；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价元；
商家不能达到平均每天盈利元，设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

23.【答案】解：补全图形如下：

证明：，
，
根据折叠的性质，可得，
，
是直角三角形；
设，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，，
，，
，
，
，
根据折叠的性质，可得，
在中，根据勾股定理，得． 

【解析】根据题意补全图形即可；
根据折叠的性质，可得，根据，即可得证；
设，在中，根据勾股定理列方程，求出的值，可得，根据折叠的性质可得，再根据勾股定理可得的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．