2021-2022学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学教育集团八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列各式是二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程是一元二次方程的是

A.
B. 均为常数
C.
D.

3. 若是关于的方程的根，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为
    

A.  B.  C.  D.

5. 用配方法解方程，变形结果正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是

A.
B.
C.
D.

7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为

A.  B.
C.  D.

8. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

9. 如图，是等边形内一点，连接、、，：：：：，以为边在形外作≌，连接，则以下结论错误的是

A. 是正三角形
B. 是直角三角形
C.
D.
 

10. 在等腰中，，，，点在边上．若是直角三角形，则的长度是

A.  B. 或 C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
12. 若实数、满足，且，恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是______．
13. 已知，则的值为______ ．
14. 如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，，依次规律，则点的坐标是______．
    
    
     

15. 如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，则这个最小值为______．
16. 如图，在中，，，边上的中线，则的面积是______．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

17. 计算：
    
    
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程：
    配方法
    因式分解法
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）

19. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元．
    求该企业从年到年利润的年平均增长率；
    若保持年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过亿元？
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知，是实数，定义运算“”为：．
    分别求与的值；
    若关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元．
    若销售单价为每件元，求每天的销售利润；
    要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？
    
    
    
    
    
    
     
22. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为米，高为米的矮台，
    求高台比矮台高多少米？
    求旗杆的高度；
    玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、中被开方数，无意义，故此选项不符合题意；
B、，，是二次根式，故此选项符合题意；
C、当时，无意义，故此选项不符合题意；
D、属于三次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义的内容是解此题的关键，注意：式子叫做二次根式．
 

2.【答案】

【解析】

解：、是分式方程，故本选项不符合题意；
B、，时，是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、化简后是一元一次方程，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：是关于的方程的根，
代入得：，
，
方程两边都除以得：，
．
故选：．
把代入方程得出，方程两边都除以得出，求出即可．
本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．
 

4.【答案】

【解析】

解：由题意可知：，
，
原式

，
故选：．
求得，，根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案
本题考查二次根式的性质，实数与数轴，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查配方法解一元二次方程，属于基础题．
首先把二次项系数化为，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，
即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选：．  

6.【答案】

【解析】

解：设小道的宽度为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
故选：．
设小道的宽度为，则剩余部分的面积与长、宽的矩形面积相等，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合为正值即可确定小道的宽度．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：全班有名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是．
故选：．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】
解：，
．
．
，
，
，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选A．  

9.【答案】

【解析】

解：是等边三角形，则，又≌，则，，
是正三角形，又：：：：，
设，则：，，，
根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且，
又是正三角形，
，

错误的结论只能是．
故选：．

先运用全等得出，，从而，得出是等边三角形，，，再运用勾股定理逆定理得出，由此得解．
解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：是直角三角形，
当，即时，
，，
，
；
当，即时，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，的长度是或，
故选：．
分两种情况：当，即时，当，即时，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】

且
 

【解析】

解：要使式子在实数范围内有意义，
则，且，
解得：且．
故答案为：且．
直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，注意分式的分母不能为零是解题关键．
 

12.【答案】

或
 

【解析】

解：，
，，
解得，，
当作腰时，三边为，，，符合三边关系定理，周长为：，
当作腰时，三边为，，，，符合三边关系定理，周长为：．
故答案为：或．
由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．
 

13.【答案】

【解析】

解：设，则原方程可化为：
即
舍去或，即．
故答案是：．
先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值．
本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
 

14.【答案】

【解析】

解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
从到经过了次变化，
，．
点所在的正方形的边长为，点位置在第四象限．
点的坐标是；
可得出：点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
故答案为．
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到的后变化的坐标，再求出、、、、，得出即可．
本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
 

15.【答案】

【解析】

解：如图，作点关于的对称点，过作于，交于此时的值最小．
．
点与点关于对称

又，
，
是等边三角形
，，
又，
．
故答案为：．
作点关于的对称点，过作于，交于此时的值最小．通过证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解．
本题考查的是轴对称最短路线问题，等边三角形的判定和性质，难度较大．
 

16.【答案】

【解析】

解：延长到点，使，连接，

是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
，
，
即为直角三角形，
的面积，
故答案为：．
延长到点，使，连接，可证明≌，所以，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即：为直角三角形，进而可求出的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
 

17.【答案】

解：原式
；
原式

．
 

【解析】

先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
 

18.【答案】

解：，
，
，
，
所以，；
，
或，
所以，．
 

【解析】

利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程．
 

19.【答案】

解：设这两年该企业年利润平均增长率为，
根据题意得：，
解答：，不合题意，舍去，
答：这两年该企业年利润平均增长率为；
如果年仍保持相同的年平均增长率，那么年该企业年利润为：，且，
则该企业年的利润能超过亿元．
 

【解析】

设这两年该企业年利润平均增长率为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
根据题意列出算式，比较即可．
此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
 

20.【答案】

解：；
；
，
由得，
整理得，
因为关于的方程有两个相等的实数根，
所以且，
所以．
 

【解析】

利用新定义得到；，然后进行实数运算即可；
利用新定义得到，整理得，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数的运算．
 

21.【答案】

解：元．
答：每天的销售利润为元．
设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件工艺品售价应为元．
 

【解析】

根据每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可求出结论；
设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】

解：米
如图：

作，，


在和中，，
≌，
，
即
，
，
则，
所以，，
所以
由勾股定理得，
．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为米．
 

【解析】

本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
由题意直接可得．
作，，可证≌，可得，，则，且可求，，即可求的长．
根据勾股定理可求，即可求的长．