专题六 分式方程——2024届中考数学一轮复习进阶讲义

这是一份专题六 分式方程——2024届中考数学一轮复习进阶讲义，共13页。试卷主要包含了分式方程的定义，分式方程的解法等内容，欢迎下载使用。


知识复习
讲解一：分式方程及其解法
一、分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
1.与整式方程的区别是分母中是否含有未知数
2.并不是含有分母的方程就时分式方程，必须是分母中含有未知数的方程才是分式方程
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思路是通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解
下表以解分式方程为例：
1.检验是解分式方程必不可少的步骤
2.分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解
【拓展延伸】
（1）对增根产生的原因理解如下：增根是在解分式方程的第一步，即去分母时产生的，根据方程的同解原理，方程两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边同时乘0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解含字母的分式方程，需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.
（3）根据分式方程有增根求字母参数的值的一般步骤：①把分式方程化为整式方程；②令最简公分母为0，求出未知数的值；③把未知数的值代入整式方程，从而求出字母参数的值.
命题精练
命题形式1 分式方程的解法
1.【2023.北京】方程的解为______．
答案：
解析：方程两边同乘，得，解得，检验：当时，，故原分式方程的解为.
2.【2023.江苏苏州】分式方程的解为________________.
答案：-3
解析：，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得.当时，，故是原分式方程的解.
3.【2023.山西】解方程：.
答案：
解析：原方程可化为.
方程两边同乘，得.
解得.
检验：当时，.
原方程的解是.
4.【2023.广西】解分式方程：.
答案：-1
解析：方程两边同乘，得.
移项、合并同类项，得.
检验：当时，.
所以原分式方程的解为.
5.【2023.江苏连云港】解方程：.
答案：
解析：方程两边同乘，
得，
解得.
检验：当时，，
是原方程的解.
命题形式2 分式方程的含参问题
6.分式方程无解，则a的值是( )
A.3或2B.3C.或3D.或2
答案：A
解析：，
两边同时乘得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
①当即时，整式方程无解，则分式方程无解；
②当即时，整式方程有解，经检验是分式方程的增根；
综上，a的值为3或2，
故选：A.
7.关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是( )
A.B.且
C.且D.且
答案：C
解析：，方程两边同时乘以得：，
解得：，
，
即，
解得：，
又方程的解是负数，
，
解不等式得：，
综上可知：且，
故选：C.
8.分式方程有增根，则m的值为( )
A.3B.6C.1或D.0或6
答案：B
解析：将原式去分母得：，
，
，
方程有增根，
或，
或，
或，
当时，方程无解，
，
故选：B.
知识复习
讲解二：分式方程的实际应用
列分式方程解决实际问题
【拓展延伸】
（1）在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系.
（2）在检验过程中，不仅要检验所得的根是否为原分式方程的根，还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义，如时间非负，人数非负等.
（3）在一些实际问题中，有时直接设问题所求的量为未知数比较麻烦，所以可以间接地设未知数.
（4）设一个未知数不容易表示等量关系时，还可以设多个未知数，即设辅助未知数.
命题精练
命题形式3 分式方程的实际应用
9.【2023.云南】阅读，正如一束阳光.孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：分析如下：
根据“乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点”，可列方程为.故选D.
10.【2023.湖北宜昌】某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为.根据题意，得，解得，经检验，是分式方程的解且符合实际，则，故汽车的速度为.
11.【2023.辽宁沈阳】甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．
答案：8
解析：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：乙每小时加工8个这种零件．
12.【2023.江苏徐州】随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善.某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往.已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间.
答案：甲路线的行驶时间为
解析：设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶时间为.
根据题意，得.
解得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
答：甲路线的行驶时间为.
13.【2023.湖南岳阳】水碧万物生，岳阳龙虾好.小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”.已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量.
答案：今年龙虾的平均亩产量为
解析：设今年龙虾的平均亩产量是x kg，则去年龙虾的平均亩产量是，
由题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解且符合题意.
答：今年龙虾的平均亩产量为.
14.【2023.吉林长春】随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.问原计划平均每天制作多少个摆件？
答案：200个
解析：设原计划平均每天制作x个摆件，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：原计划平均每天制作200个摆件.
15.【2023.贵州】为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品.
答案：（1）1.25x（填亦可）
（2）更新设备后，每天生产125件产品
解析：（1）略
（2）根据题意，得，
解得，
经检验，是该分式方程的根且符合实际意义.
.
答：更新设备后，每天生产125件产品.
16.【2023.广东】某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12. km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度.
答案：
解析：设乙同学骑自行车的速度为，则甲同学骑自行车的速度为，
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意.
答：乙同学骑自行车的速度为命题点
命题形式
命题热度
命题特点
分式方程及其解法
1.分式方程的解法
☆☆
本专题从定义和解答方面命题，多以选择题和填空题的形式出现，解答题通常考查解分式方程和列方程解应用题，重点考查学生化分为整的能力，体现了转化与化归的数学思想
2.分式方程的含参问题
☆
分式方程的实际应用
3.分式方程的实际应用
☆☆☆
步骤
具体操作方法
举例
①去分母
方程两边同乘最简公分母，化为整式方程
方程两边同乘，得
②解方程
解整式方程
解得
③检验
把整式方程的解代入最简公分母
最简公分母不为0，是分式方程的解
当时，，所以是原方程的解
最简公分母为0，不是分式方程的解，是增根
当时，，所以不是原方程的解，是增根
④写解
是原分式方程的解或原分式方程无解
故是原分式方程的解
列分式方程常用的等量关系
（1）行程问题：
（2）利润问题：
（3）工程问题：总工作量=各个分工作量之和.
（4）销售问题：.
列分式方程解应用题的一般步骤
（1）审：审清题意，弄清已知量和未知量；找出已知的或隐含的等量关系，常用表格分析法.
（2）设：设未知数（既可以设直接未知数，也可以设间接未知数）.
（3）列：列出分式方程.
（4）解：解这个方程.
（5）验：检验，既要检验所求得的根是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的根是否符合实际意义.
（6）答：写出答案.
甲
乙
路程
800米
400米
速度
1.2x米/分
x米/分
所用时间
分钟
分钟