专题六 分式方程（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

专题六 分式方程（讲义篇）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

讲解一：分式方程及其解法

一、分式方程的定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

1.与整式方程的区别是分母中是否含有未知数

2.并不是含有分母的方程就时分式方程，必须是分母中含有未知数的方程才是分式方程

二、分式方程的解法

解分式方程的基本思路是通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解

下表以解分式方程为例：

1.检验是解分式方程必不可少的步骤

2.分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解

【拓展延伸】

（1）对增根产生的原因理解如下：增根是在解分式方程的第一步，即去分母时产生的，根据方程的同解原理，方程两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边同时乘0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.

（2）解含字母的分式方程，需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.

（3）根据分式方程有增根求字母参数的值的一般步骤：①把分式方程化为整式方程；②令最简公分母为0，求出未知数的值；③把未知数的值代入整式方程，从而求出字母参数的值.

1.（2022.黑龙江哈尔滨）方程的解为(   )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】去分母，得，解得，经检验，是原分式方程的解.

2.（2022.重庆A）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是(   )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】解不等式组得不等式组的解集为，，.解分式方程，得.由题意可知，，，，a的取值范围为，且.又是负整数，且a是整数，符合条件的a的值为，，而，故选D.

3.（2022.内蒙古通辽）若关于x的分式方程：的解为正数，则k的取值范围为(   )

A. B.且 C. D.且

【答案】B

【解析】，，，，，方程的解为正数，，，，，，且，故选B.

4.（2022.山东泰安）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是(   )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】解方程：，去分母得：，去括号得：，移项得，合并同类项得：，，，所以或，经检验，是分式方程的增根，原方程的解为，又因为只有4个整数解，所以.

5.（2022.广西贺州）解方程：.

【答案】原方程无解

【解析】方程两边同时乘以最简公分母，得

去括号，得

解方程，得

检验：当时，，

不是原方程的根，原方程无解.

6.（2022.青海）解方程:

【答案】

【解析】方程两边同乘，得，
解得.
检验：当时，.
所以原分式方程的解为.

讲解二：分式方程的实际应用

列分式方程解决实际问题

【拓展延伸】

（1）在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系.

（2）在检验过程中，不仅要检验所得的根是否为原分式方程的根，还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义，如时间非负，人数非负等.

（3）在一些实际问题中，有时直接设问题所求的量为未知数比较麻烦，所以可以间接地设未知数.

（4）设一个未知数不容易表示等量关系时，还可以设多个未知数，即设辅助未知数.

7.（2022.湖北襄阳）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程为(   )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：，故选B.

8.（2022.云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵.则下列方程正确的是(   )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由实际每天植树x棵，可知原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同”，可列方程为.

9.（2022.辽宁鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天.设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为___________________.

【答案】

【解析】甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，

乙车间每天加工1.5x件产品，

又甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，

.

故答案为：.

10.（2022.山东烟台）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱.某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人.已知B型每个进价比A型的2倍少400元.采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元.请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？

【答案】每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元.

【解析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为元，

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

.

答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元.