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专题二 整式——2024届中考数学一轮复习进阶讲义
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这是一份专题二 整式——2024届中考数学一轮复习进阶讲义，共21页。试卷主要包含了代数式的定义，代数式的分类，列代数式的要点，代数式求值的常用方法等内容，欢迎下载使用。
知识复习
讲解一：代数式及其分类
一、代数式的定义：用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如，，，等.
1.基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方.
2.单独的一个数或一个字母也是代数式.
3.不含关系符号，如“”“>”或“”等 .
二、代数式的分类
1.有理式：只含有加、减、乘、除、乘方和数字开方运算的代数式
2.无理式：被开方数中含有字母的代数式
三、列代数式的要点
通过题目中的关键词（如和、差、积、商、大、小、几倍、几分之几等），找到正确的数量关系.常见数量关系如下：
四、代数式求值的常用方法
1.直接代入法：已知字母的值或字母的值可计算时，直接代入求解
2.整体代入法：字母的值不能或不必计算时，先对已知或所求代数式进行变形（常用到提取公因式、平方差公式、完全平方公式等），再整体代入求解.
命题精练
命题形式1 列代数式
1.【2023.河北】现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为，.
（1）请用含a的式子分别表示，；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由.
答案：（1），；当时，
（2）
解析：（1）根据题意，得，，
当时，.
（2）.
理由：由（1）知，，，
.
，
，
.
命题形式2 代数式求值
2.【2023.辽宁沈阳】当时，代数式的值为____________．
答案：2
解析：
当时, 原式.
故答案为:2.
3.【2023.湖南常德】若，则( )
A.5B.1C.-1D.0
答案：A
解析：，，.
4.【2023.山东济宁】已知实数m满足，则_________.
答案：8
解析：，，
.
知识复习
讲解二：整式的相关概念
一、单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，如，等.
单项式的相关概念如下：
1.乘积：只含乘法，不含加法
2.单独的一个数或字母也是单项式
3.分母中不能含有字母
4.若单项式只含有字母因数，则它的系数就是1或－1
5.对于单独一个非零的数，规定它的次数为0
6.π是常数而不是字母
二、多项式：几个单项式的和叫做多项式，如，等.
多项式的相关概念如下：
1.不含字母的项叫做常数项
2.多项式的每一项都包括它前面的符号
3.一般用次数与项数来表示多项式，称作几次几项式，如是二次三项式
4.单项式与多项式统称为整式
命题精练
命题形式3 单项式系数
5.【2023.江西】单项式的系数为________.
答案：
讲解三：整式的加减
整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项
知识复习
一、合并同类项：将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如.
1.同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项
2.同类项与单项式的系数无关，与字母的顺序无关.
3.常数项都是同类项
4.若多个同类项的系数相加为0，则合并后该项为0
二、去括号法则
添括号与去括号的过程相反，添括号是否正确，可用去括号检验.
命题精练
命题形式4 整式的加减
6.【2023.湖北宜昌】在日历上，某些数满足一定的规律.如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是( )
A.左上角的数字为
B.左下角的数字为
C.右下角的数字为
D.方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
答案：D
解析：右上角的数字为a，则左上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，这4个数字之和，故选项D正确.
7.已知，则M与N的大小关系是( )
A.B.C.D.以上都有可能
答案：A
解析：
，
，
，
.
故选A.
8.下列去括号正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选A.
讲解四：幂的运算
知识复习
幂的运算
命题精练
命题形式5 幂的运算
9.【2023.湖南衡阳】计算的结果正确的是( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：，故选B.
10.【2023.天津】计算的结果为________.
答案：
解析：原式.
11.【2023.陕西A】计算：( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：.
12.【2023.新疆】计算的结果是( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：.
知识复习
讲解五：整式的乘除
一、整式的乘法
二、整式的除法
命题精练
命题形式6 整式的混合运算
13.【2023.湖北随州】设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A.6B.7C.8D.9
答案：C
解析：长为、宽为的矩形的面积为，要拼一个长为、宽为的矩形，需要6张A类纸片、2张B类纸片和8张C类纸片.故选C.
14.【2023.湖南长沙】先化简，再求值：，其中.
答案：原式
解析：原式
.
当时，原式.
15.【2023.湖南长沙】下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：逐项分析如下.故选A.
16.【2023.黑龙江牡丹江】下列计算正确的是( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：，
A选项的运算不正确, 不符合题意;
，
B选项的运算不正确, 不符合题意;
，
C选项的运算正确, 符合题意;
，
D选项的运算不正确, 不符合题意.
故选C.
17.【2023.江苏徐州】下列运算正确的是( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：逐项分析如下.故选B.
18.【2023.山东济宁】下列各式运算正确的是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：逐项分析如下.故选D.
19.【2023.四川成都】下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解析：分析如下：故选C.
讲解六：乘法公式
知识复习
一、平方差公式：
平方差公式的实质是符号相同项2－符号相反项2，与位置、系数、指数、项数都无关
1.位置：
2.系数：
3.指数：
4.项数：
二、完全平方公式：
完全平方公式间的联系：
①；
②；
③
命题精练
命题形式7 利用乘法公式化简求值
20.【2023.四川南充】先化简，再求值：，其中.
答案：
解析：原式
.
当时，原式.
21.【2023.江苏连云港】若（x，y为实数），则W的最小值为__________.
答案：
解析：.x，y均为实数，，，，W的最小值为.
讲解七：因式分解
知识复习
一、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
二、提取公因式：如果一个多项式的各项都是公因式，可以把该公因式提出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式
1.公因式：指多项式中各项都含有相同的因式，如的公因式是.公因式可以是单项式，也可以是多项式
2.提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得对应项为1
3.确定公因式的步骤：（以和的公因式为例）
①定系数：取各项系数的最大公因数（8和12的最大公因数是4）
②定字母：取各项相同的字母（多项式）（各项相同的字母是）
③定次数：取各项相同字母（多项式）的最低次数（的最低次数是1;的最低次数是2）
④写公因式：（公因式：）
4.提公因式的步骤：（以为例）
①确定公因式（公因式：）
②把多项式的各项写成含公因式的乘积的形式（原式=）
③把公因式提到括号外面，余下各项写在括号里面（原式=）
三、公因式：利用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法
延伸：十字相乘法
对于某些形如“”的二次项系数为1的二次三项式，可以利用十字相乘法进行因式分解.十字相乘的步骤如下：
当常数项是正数时，分解的两个因数同号；当常数项是负数时，分解的两个因数异号.
命题精练
命题形式8 提公因式法分解因式
22.【2023.江苏宿迁】分解因式：__________．
答案：
解析：利用提取公因式法进行因式分解, 可得:
故本题正确答案为.
命题形式9 公式法分解因式
23.【2023.湖南长沙】分解因式：_____________.
答案：
解析：.故填.
24.【2023.北京】分解因式：__________________.
答案：
解析：原式.
25.【2023.山东济宁】下列各式从左到右的变形是因式分解正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解析：，属于整式的乘法；，不是因式分解；，属于因式分解且正确；因为，所以该选项因式分解错误.故选C.
26.【2023.河北】若k为任意整数，则的值总能( )
A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除
答案：B
解析：，所以原式总能被3整除.命题点
命题形式
命题热度
命题特点
代数式
1.列代数式
☆
本专题多以选择题和填空题的形式出现，重点考查学生通过运算法则、运算公式求得运算结果的能力，体现了数学运算的核心素养
2.代数式求值
☆☆
整式及其运算
3.整式的加减
☆☆
4.幂的运算
☆☆☆
5.整式的混合运算
☆☆☆☆
因式分解
6.因式分解
☆☆☆☆
类别
数量关系
和差倍分问题
①的平方和：；
②与差的平方：
数的表示
个位数字为，十位数字为，百位数字为，这个数表示为
面积问题
①；②；③；④
类别
定义
示例
系数
单项式中的数字因数
次数
单项式中的所有字母的指数和
类别
定义
示例
项
组成多项式的每个单项式
项数
组成多项式的单项式的个数
次数
多项式中次数最高项的次数
符号
法则
举例
括号前是“+”
去、添括号不变号
括号前是“－”
去、添括号都变号
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
类别
运算法则
运算公式
逆用
同底数幂的乘法
底数不变，指数相加
（都是正整数）
（都是正整数）
幂的乘方
底数不变，指数相乘
（都是正整数）
（都是正整数）
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
（是正整数）；
（是正整数）；
同底数幂的除法
底数不变，指数相减
（都是正整数）
（都是正整数）；
零次幂
任何非零数的0次幂都等于1
负指数幂
指数转正，再取倒数
（是正整数）；
类别
运算法则
示例
单项式×单项式
①系数相乘；
②同底数幂相乘；
③单独含有的字母连同指数不变
单项式×多项式
①单项式乘多项式的每一项；
②积相加
多项式×多项式
①将多项式的每一项分别相乘
②积相加
类别
运算法则
举例
单项式÷单项式
①系数相除；
②同底数幂相除；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变
多项式÷单项式
①用多项式的每一项除以单项式；
②商相加
分析
正误
A
√
B
×
C
×
D
×
选项
分析
正误
A
原式
×
B
原式
√
C
原式
×
D
原式
×
选项
分析
正误
A
×
B
×
C
×
D
√
选项
分析
正误
A
×
B
×
C
√
D
×
平方差公式
完全平方公式
字母表示
或
语言叙述
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方
式子特征
（1）被分解的多项式是二项式
（2）每一项的绝对值都可以写成平方的形式
（3）这两项的符号相反
（1）被分解的多项式是三项式
（2）其中两项是两个数（或式子）的平方的形式，这两项的符号相同，另一项是这两个数（或式子）的积的2倍，符号正负均可
类别
举例
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
知识复习
讲解一：代数式及其分类
一、代数式的定义：用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如，，，等.
1.基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方.
2.单独的一个数或一个字母也是代数式.
3.不含关系符号，如“”“>”或“”等 .
二、代数式的分类
1.有理式：只含有加、减、乘、除、乘方和数字开方运算的代数式
2.无理式：被开方数中含有字母的代数式
三、列代数式的要点
通过题目中的关键词（如和、差、积、商、大、小、几倍、几分之几等），找到正确的数量关系.常见数量关系如下：
四、代数式求值的常用方法
1.直接代入法：已知字母的值或字母的值可计算时，直接代入求解
2.整体代入法：字母的值不能或不必计算时，先对已知或所求代数式进行变形（常用到提取公因式、平方差公式、完全平方公式等），再整体代入求解.
命题精练
命题形式1 列代数式
1.【2023.河北】现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示.某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为，.
（1）请用含a的式子分别表示，；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由.
答案：（1），；当时，
（2）
解析：（1）根据题意，得，，
当时，.
（2）.
理由：由（1）知，，，
.
，
，
.
命题形式2 代数式求值
2.【2023.辽宁沈阳】当时，代数式的值为____________．
答案：2
解析：
当时, 原式.
故答案为:2.
3.【2023.湖南常德】若，则( )
A.5B.1C.-1D.0
答案：A
解析：，，.
4.【2023.山东济宁】已知实数m满足，则_________.
答案：8
解析：，，
.
知识复习
讲解二：整式的相关概念
一、单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，如，等.
单项式的相关概念如下：
1.乘积：只含乘法，不含加法
2.单独的一个数或字母也是单项式
3.分母中不能含有字母
4.若单项式只含有字母因数，则它的系数就是1或－1
5.对于单独一个非零的数，规定它的次数为0
6.π是常数而不是字母
二、多项式：几个单项式的和叫做多项式，如，等.
多项式的相关概念如下：
1.不含字母的项叫做常数项
2.多项式的每一项都包括它前面的符号
3.一般用次数与项数来表示多项式，称作几次几项式，如是二次三项式
4.单项式与多项式统称为整式
命题精练
命题形式3 单项式系数
5.【2023.江西】单项式的系数为________.
答案：
讲解三：整式的加减
整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项
知识复习
一、合并同类项：将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如.
1.同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项
2.同类项与单项式的系数无关，与字母的顺序无关.
3.常数项都是同类项
4.若多个同类项的系数相加为0，则合并后该项为0
二、去括号法则
添括号与去括号的过程相反，添括号是否正确，可用去括号检验.
命题精练
命题形式4 整式的加减
6.【2023.湖北宜昌】在日历上，某些数满足一定的规律.如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是( )
A.左上角的数字为
B.左下角的数字为
C.右下角的数字为
D.方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
答案：D
解析：右上角的数字为a，则左上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，这4个数字之和，故选项D正确.
7.已知，则M与N的大小关系是( )
A.B.C.D.以上都有可能
答案：A
解析：
，
，
，
.
故选A.
8.下列去括号正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选A.
讲解四：幂的运算
知识复习
幂的运算
命题精练
命题形式5 幂的运算
9.【2023.湖南衡阳】计算的结果正确的是( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：，故选B.
10.【2023.天津】计算的结果为________.
答案：
解析：原式.
11.【2023.陕西A】计算：( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：.
12.【2023.新疆】计算的结果是( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：.
知识复习
讲解五：整式的乘除
一、整式的乘法
二、整式的除法
命题精练
命题形式6 整式的混合运算
13.【2023.湖北随州】设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A.6B.7C.8D.9
答案：C
解析：长为、宽为的矩形的面积为，要拼一个长为、宽为的矩形，需要6张A类纸片、2张B类纸片和8张C类纸片.故选C.
14.【2023.湖南长沙】先化简，再求值：，其中.
答案：原式
解析：原式
.
当时，原式.
15.【2023.湖南长沙】下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：A
解析：逐项分析如下.故选A.
16.【2023.黑龙江牡丹江】下列计算正确的是( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：，
A选项的运算不正确, 不符合题意;
，
B选项的运算不正确, 不符合题意;
，
C选项的运算正确, 符合题意;
，
D选项的运算不正确, 不符合题意.
故选C.
17.【2023.江苏徐州】下列运算正确的是( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：逐项分析如下.故选B.
18.【2023.山东济宁】下列各式运算正确的是( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：逐项分析如下.故选D.
19.【2023.四川成都】下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解析：分析如下：故选C.
讲解六：乘法公式
知识复习
一、平方差公式：
平方差公式的实质是符号相同项2－符号相反项2，与位置、系数、指数、项数都无关
1.位置：
2.系数：
3.指数：
4.项数：
二、完全平方公式：
完全平方公式间的联系：
①；
②；
③
命题精练
命题形式7 利用乘法公式化简求值
20.【2023.四川南充】先化简，再求值：，其中.
答案：
解析：原式
.
当时，原式.
21.【2023.江苏连云港】若（x，y为实数），则W的最小值为__________.
答案：
解析：.x，y均为实数，，，，W的最小值为.
讲解七：因式分解
知识复习
一、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
二、提取公因式：如果一个多项式的各项都是公因式，可以把该公因式提出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式
1.公因式：指多项式中各项都含有相同的因式，如的公因式是.公因式可以是单项式，也可以是多项式
2.提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得对应项为1
3.确定公因式的步骤：（以和的公因式为例）
①定系数：取各项系数的最大公因数（8和12的最大公因数是4）
②定字母：取各项相同的字母（多项式）（各项相同的字母是）
③定次数：取各项相同字母（多项式）的最低次数（的最低次数是1;的最低次数是2）
④写公因式：（公因式：）
4.提公因式的步骤：（以为例）
①确定公因式（公因式：）
②把多项式的各项写成含公因式的乘积的形式（原式=）
③把公因式提到括号外面，余下各项写在括号里面（原式=）
三、公因式：利用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法
延伸：十字相乘法
对于某些形如“”的二次项系数为1的二次三项式，可以利用十字相乘法进行因式分解.十字相乘的步骤如下：
当常数项是正数时，分解的两个因数同号；当常数项是负数时，分解的两个因数异号.
命题精练
命题形式8 提公因式法分解因式
22.【2023.江苏宿迁】分解因式：__________．
答案：
解析：利用提取公因式法进行因式分解, 可得:
故本题正确答案为.
命题形式9 公式法分解因式
23.【2023.湖南长沙】分解因式：_____________.
答案：
解析：.故填.
24.【2023.北京】分解因式：__________________.
答案：
解析：原式.
25.【2023.山东济宁】下列各式从左到右的变形是因式分解正确的是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解析：，属于整式的乘法；，不是因式分解；，属于因式分解且正确；因为，所以该选项因式分解错误.故选C.
26.【2023.河北】若k为任意整数，则的值总能( )
A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除
答案：B
解析：，所以原式总能被3整除.命题点
命题形式
命题热度
命题特点
代数式
1.列代数式
☆
本专题多以选择题和填空题的形式出现，重点考查学生通过运算法则、运算公式求得运算结果的能力，体现了数学运算的核心素养
2.代数式求值
☆☆
整式及其运算
3.整式的加减
☆☆
4.幂的运算
☆☆☆
5.整式的混合运算
☆☆☆☆
因式分解
6.因式分解
☆☆☆☆
类别
数量关系
和差倍分问题
①的平方和：；
②与差的平方：
数的表示
个位数字为，十位数字为，百位数字为，这个数表示为
面积问题
①；②；③；④
类别
定义
示例
系数
单项式中的数字因数
次数
单项式中的所有字母的指数和
类别
定义
示例
项
组成多项式的每个单项式
项数
组成多项式的单项式的个数
次数
多项式中次数最高项的次数
符号
法则
举例
括号前是“+”
去、添括号不变号
括号前是“－”
去、添括号都变号
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
类别
运算法则
运算公式
逆用
同底数幂的乘法
底数不变，指数相加
（都是正整数）
（都是正整数）
幂的乘方
底数不变，指数相乘
（都是正整数）
（都是正整数）
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
（是正整数）；
（是正整数）；
同底数幂的除法
底数不变，指数相减
（都是正整数）
（都是正整数）；
零次幂
任何非零数的0次幂都等于1
负指数幂
指数转正，再取倒数
（是正整数）；
类别
运算法则
示例
单项式×单项式
①系数相乘；
②同底数幂相乘；
③单独含有的字母连同指数不变
单项式×多项式
①单项式乘多项式的每一项；
②积相加
多项式×多项式
①将多项式的每一项分别相乘
②积相加
类别
运算法则
举例
单项式÷单项式
①系数相除；
②同底数幂相除；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变
多项式÷单项式
①用多项式的每一项除以单项式；
②商相加
分析
正误
A
√
B
×
C
×
D
×
选项
分析
正误
A
原式
×
B
原式
√
C
原式
×
D
原式
×
选项
分析
正误
A
×
B
×
C
×
D
√
选项
分析
正误
A
×
B
×
C
√
D
×
平方差公式
完全平方公式
字母表示
或
语言叙述
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方
式子特征
（1）被分解的多项式是二项式
（2）每一项的绝对值都可以写成平方的形式
（3）这两项的符号相反
（1）被分解的多项式是三项式
（2）其中两项是两个数（或式子）的平方的形式，这两项的符号相同，另一项是这两个数（或式子）的积的2倍，符号正负均可
类别
举例
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
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