专题二 整式（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

专题二 整式（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

讲解一：代数式及其分类

一、代数式的定义：用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如，，，等.

1.基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方.

2.单独的一个数或一个字母也是代数式.

3.不含关系符号，如“”“>”或“”等 .

二、代数式的分类

1.有理式：只含有加、减、乘、除、乘方和数字开方运算的代数式

2.无理式：被开方数中含有字母的代数式

三、列代数式的要点

通过题目中的关键词（如和、差、积、商、大、小、几倍、几分之几等），找到正确的数量关系.常见数量关系如下：

四、代数式求值的常用方法

1.直接代入法：已知字母的值或字母的值可计算时，直接代入求解

2.整体代入法：字母的值不能或不必计算时，先对已知或所求代数式进行变形（常用到提取公因式、平方差公式、完全平方公式等），再整体代入求解.

1.（2022.湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为(   )

A.8x元 B.元 C.元 D.元

【答案】C

【解析】设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则购买乙种读本的费用为元.故选C.

2.（2022.内蒙古包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于(   )

A.5 B.4 C.3 D.2

【答案】A

【解析】，，，，当时，代数式有最小值，最小值为5，故选A.

讲解二：整式的相关概念

一、单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，如，等.

单项式的相关概念如下：

1.乘积：只含乘法，不含加法

2.单独的一个数或字母也是单项式

3.分母中不能含有字母

4.若单项式只含有字母因数，则它的系数就是1或－1

5.对于单独一个非零的数，规定它的次数为0

6.π是常数而不是字母

二、多项式：几个单项式的和叫做多项式，如，等.

多项式的相关概念如下：

1.不含字母的项叫做常数项

2.多项式的每一项都包括它前面的符号

3.一般用次数与项数来表示多项式，称作几次几项式，如是二次三项式

4.单项式与多项式统称为整式

3.有下列式子：π，，，，-x，3，5xy，.其中整式有(   )

A.7个 B.6个 C.5个 D.4个

【答案】B

【解析】因为式子π是单项式，不是整式，是多项式，是多项式，-x是单项式，3是单项式，5xy是单项式，不是整式，所以整式共有6个，故选B.

4.下列判断正确的是(   )

A.a的系数为0  B.的系数为

C.的次数是2  D.-5是一次单项式

【答案】B

【解析】A选项，a的系数为1，故本选项错误；B选项，的系数为，故本选项正确；C选项，的次数足4，故本选项错误；D选项，-5是单项式，但不是一次，故本选项错误，故选B.

讲解三：整式的加减

整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项

一、合并同类项：将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如.

1.同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项

2.同类项与单项式的系数无关，与字母的顺序无关.

3.常数项都是同类项

4.若多个同类项的系数相加为0，则合并后该项为0

二、去括号法则

添括号与去括号的过程相反，添括号是否正确，可用去括号检验.

5.先去括号，再合并同类项正确的是(   )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】，选项A不符合题意；

，选项B不符合题意；

，选项C符合题意；

，选项D不符合题意；

故选C.

6.（2022.重庆A）在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如：，，….

下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.

其中正确的个数是(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】D

【解析】当添加一个括号，且左括号在x前边时，右括号在任何一个位置，运算结果都与原多项式相等，故说法①正确.由于不管在哪个位置添加括号都无法改变前两项的符号，因此运算结果与原多项式之和不可能为0，故说法②正确.根据“加算操作”的原则，不会改变前两项的符号，改变的是后三项的符号，画示意图如图所示，据图可知共有8种不同的结果，故说法③正确.故本题选D.

7.（2022.内蒙古包头）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________.

【答案】

【解析】设这个多项式为A，由题意得：，.

讲解四：幂的运算

幂的运算

8.（2022.湖北武汉）计算的结果是(   )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】原式.

9.（2022.山东泰安）计算的结果是(   )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】原式.

10.（2022.山东济宁）下列各式运算正确的是(   )

A. B. 

C.  D.

【答案】C

【解析】，A选项的结论不正确；，B选项的结论不正确；，C选项的结论正确；，D选项的结论不正确，故选C.

11.（2022.江苏常州）计算：_________.

【答案】

【解析】.

讲解五：整式的乘除

一、整式的乘法

二、整式的除法

12.（2022.河北）若x和y互为倒数，则的值是(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】x和y互为倒数，，.

13.（2022.江西）下列计算正确的是(   )

A.  B. 

C.  D.

【答案】B

【解析】逐项分析如下：

14.（2022.青海）下列运算正确的是(   )

A.  B.

C. D.

【答案】D

【解析】A.与不是同类项不能加减，故选项A计算不正确；

B.，故选项B计算不正确；

C.，故选项C计算不正确；

D.，故选项D计算正确.

15.黄老师给学生出了一道题：当时，求的值.题目出完后，李明说：“老师给的条件是多余的.”小颖说：“不给这个条件就不能求出结果，所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理？为什么？

【答案】李明说的有道理.理由如下：

因为化简后的结果不含，所以最后的结果与的值无关，所以李明说的有道理.

讲解六：乘法公式

一、平方差公式：

平方差公式的实质是符号相同项2－符号相反项2，与位置、系数、指数、项数都无关

1.位置：

2.系数：

3.指数：

4.项数：

二、完全平方公式：

完全平方公式间的联系：

①；

②；

③

16.（2022.内蒙古赤峰）已知，则的值为(   )

A.13 B.8 C.-3 D.5

【答案】A

【解析】，，，所以，故选A.

17.（2022.河南）下列运算正确的是(   )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】逐项分析如下：

18.（2022.四川广安）已知，则代数式的值为__________.

【答案】10

【解析】方法一：，
又，原式.

方法二：

.
又，原式.

讲解七：因式分解

一、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解

因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即

二、提取公因式：如果一个多项式的各项都是公因式，可以把该公因式提出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式

1.公因式：指多项式中各项都含有相同的因式，如的公因式是.公因式可以是单项式，也可以是多项式

2.提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得对应项为1

3.确定公因式的步骤：（以和的公因式为例）

①定系数：取各项系数的最大公因数（8和12的最大公因数是4）

②定字母：取各项相同的字母（多项式）（各项相同的字母是）

③定次数：取各项相同字母（多项式）的最低次数（的最低次数是1;的最低次数是2）

④写公因式：（公因式：）

4.提公因式的步骤：（以为例）

①确定公因式（公因式：）

②把多项式的各项写成含公因式的乘积的形式（原式=）

③把公因式提到括号外面，余下各项写在括号里面（原式=）

三、公因式：利用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法

延伸：十字相乘法

对于某些形如“”的二次项系数为1的二次三项式，可以利用十字相乘法进行因式分解.十字相乘的步骤如下：

当常数项是正数时，分解的两个因数同号；当常数项是负数时，分解的两个因数异号.

19.下列因式分解正确的是(   )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】A项，，故此选项错误；B项，无法分解因式，故此选项错误；C项，无法分解因式，故此选项错误；D项，，正确.故选D.

20.（2022.广东广州）分解因式：__________.

【答案】

【解析】.故答案为.

21.（2022.黑龙江哈尔滨）把多项式分解因式的结果是__________.

【答案】

【解析】.

22.，反过来可写成.于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式.通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法.

示例：因式分解：.

解：由图②可知，.

请根据示例，对下列多项式进行因式分解：

（1）；

（2）.

【答案】（1）由图1可知，.

（2）由图2可知，.