8.2消元——解二元一次方程组

8.2消元——解二元一次方程组一．选择题（共10小题）1．将3x﹣2y＝2变形，用含x的式子表示y，下列结果正确的是（　　）A． B． C． D．2．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（　　）A．x﹣2+2x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+x＝4 D．x﹣2﹣x＝43．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（　　）A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g5．已知，且y≠0，则的值为（　　）A． B．﹣ C．﹣12 D．126．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　）A． B． C． D．7．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝6的解，则k的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．28．若是二元一次方程组的解，则x+2y的算术平方根为（　　）A．3 B．﹣3 C． D．9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．110．已知x，y满足方程组，则11x+11y的值为（　　）A．﹣22 B．22 C．11m D．14二．填空题（共3小题）11．已知方程2xm﹣1﹣yn+2＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　，n＝　 　．12．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　 　．13．若方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣90＝0的一组解，则a的值是 　 　．三．解答题（共10小题）14．用代入法解下列方程组：（1）（2）（3）（4）15．用加减法解下列方程组：（1）；（2）；（3）；（4）．16．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，求m的值．17．已知是方程组的解，求a、b的值．18．已知代数式ax2+bx+c，当x＝1和x＝﹣3时，它的值都为5，当x＝﹣1时，它的值为1，（1）求a，b，c的值；（2）当x＝﹣2时，求代数式ax2+bx+c的值．19．请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b＝ax+by．例如：3◎2＝3x+2y．（1）如果x＝﹣5，2◎4＝﹣18，求y的值；（2）1◎1＝8，4◎2＝20，求x，y的值．20．已知方程组，将①×2﹣②能消去x，将②+①能消去y，求m，n的值．21．某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人：现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送多少学生？（2）请你帮学校设计出所有的租车方案．22．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何．”译（文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两．”根据以上译文，提出以下两个问题：（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子；（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法．列出所有的可能．23．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，∴方程组的解为．请你根据以上方法解决下列问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．8.2消元——解二元一次方程组参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．将3x﹣2y＝2变形，用含x的式子表示y，下列结果正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据等式的性质即可求出答案．【解答】解：3x﹣2y＝2，2y＝3x﹣2，∴y＝．故选：A．【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质．2．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（　　）A．x﹣2+2x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+x＝4 D．x﹣2﹣x＝4【分析】将方程①代入方程②得出x﹣2（1﹣x）＝4，再去掉括号即可．【解答】解：，将方程①代入方程②，得x﹣2（1﹣x）＝4，x﹣2+2x＝4，故选：A．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．3．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先求出x、y的值，再根据点在各象限内坐标的特点确定出点的坐标位置即可．【解答】解：，由①得，x＝1，代入②得，y＝﹣14，∵x＝1＞0，y＝﹣14＜0，∴此点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，正确解出x、y的值是解答此题的关键．4．如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为（　　）A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g【分析】根据图可得：3块巧克力的重＝2个果冻的重；1块巧克力的重+1个果冻的重＝50克，由此可设出未知数，列出方程组．【解答】解：设每块巧克力的重x克，每个果冻的重y克，由题意得：，解得：．故选：C．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关系，列出方程组．5．已知，且y≠0，则的值为（　　）A． B．﹣ C．﹣12 D．12【分析】由②得出y＝﹣4z③，把③代入①得出x＝3×（﹣4z），求出x＝﹣12z，再等式两边都除以z即可．【解答】解：，由②，得y＝﹣4z③，把③代入①，得x＝3×（﹣4z），即x＝﹣12z，等式两边都除以z得：＝﹣12，故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能求出y＝﹣4z是解此题的关键．6．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　）A． B． C． D．【分析】根据两个方程组的对应项的系数、常数都相同，可得m、n的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得，故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，根据两个方程组的特点，得到关于m、n的方程组是解题的关键．7．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝6的解，则k的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】由①×2﹣②得：x﹣3y＝6k，从而得到6k＝6，即可求解．【解答】解：，由①×2﹣②，得x﹣3y＝6k，∵二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝6的解，∴6k＝6，解得k＝1．故选：A．【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．8．若是二元一次方程组的解，则x+2y的算术平方根为（　　）A．3 B．﹣3 C． D．【分析】把a与b的值代入方程组计算求出x+2y的值，即可求出结果．【解答】解：把代入方程组得：，①﹣②得：x+2y＝3，则3的算术平方根为．故选：C．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】方程组中两方程相减即可求出m+n的值．【解答】解：，②﹣①得：m+n＝﹣1．故选：B．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．10．已知x，y满足方程组，则11x+11y的值为（　　）A．﹣22 B．22 C．11m D．14【分析】两方程相加，可得x+y＝﹣2，再乘以11可得结论．【解答】解：，①+②得：7x+7y＝﹣14，x+y＝﹣2，∴11x+11y＝﹣22，故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，学会运用整体思想解决问题是解本题的关键．二．填空题（共3小题）11．已知方程2xm﹣1﹣yn+2＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝　2　，n＝　﹣1　．【分析】根据二元一次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值即可．【解答】解：∵方程2xm﹣1﹣yn+2＝1是关于x，y的二元一次方程，∴m﹣1＝1，n+2＝1，解得m＝2，n＝﹣1．故答案为：2，﹣1．【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解答此题的关键．12．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　﹣　．【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．【解答】解：法一：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减得4xy＝﹣3，解得xy＝﹣，则P＝﹣．法二：由题可得，解之得：，∴P＝xy＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．13．若方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣90＝0的一组解，则a的值是 　6　．【分析】求出方程组 的解，代入3x﹣5y﹣90＝0即可求出a的值．【解答】解：，①+②得：2x＝5a，即x＝2.5a，把x＝2.5a代入①得：y＝﹣1.5a，∴方程组的解为，∵方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣90＝0的一组解，∴3×2.5a﹣5×（﹣1.5a）﹣90＝0，解得：a＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．三．解答题（共10小题）14．用代入法解下列方程组：（1）（2）（3）（4）【分析】（1）用代入消元法解方程组即可．（2）用代入消元法解方程组即可．（3）用代入消元法解方程组即可．（4）用代入消元法解方程组即可．【解答】解：（1），把①代入②得3（6﹣5y）﹣6y＝4，解得y＝，∴x＝6＝，所以方程组的解为；（2），由②得x＝6﹣y③，把③代入①，得y＝5，∴x＝6﹣5＝1，所以原方程组的解为；（3），由②得y＝2x﹣5③，把③代入①得，解得x＝2，∴y＝2×2﹣5＝﹣1，所以原方程组的解为；（4），由①得x＝③，把③代入②得解得y＝1，∴x＝＝2，所以原方程组的解为．【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是熟知代入消元法解方程组的步骤．15．用加减法解下列方程组：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）方程①+②得，4x＝8，求出x的值，代入方程①求出y的值即可；（2）方程①×2﹣②得，7x＝35，求出x的值，代入方程①求出y的值即可；（3）方程①×3﹣②×2得，11y＝14，求出y的值，再代入方程②求出x的值即可；（4）方程①×2+②×3得，13x＝6，求出x的值，再代入方程①求出y的值即可．【解答】解：（1），①+②得，4x＝8，解得x＝2，把x＝2代入①得，2+2y＝9，解得y＝3.5，所以方程组的解为；（2），①×2﹣②得，7x＝35，解得x＝5，把x＝5代入①得，25+2y＝25，解得y＝0，所以原方程组的解为；（3），①×3﹣②×2得，11y＝14，解得，y＝，把y＝代入②得，3x+＝5，解得x＝，所以原方程组的解为；（4），①×2+②×3得，13x＝6，解得x＝，把x＝代入①得，+3y＝6，解得y＝，所以原方程组的解为．【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法求解二元一次方程组是正确解答的前提．16．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，求m的值．【分析】把方程组的两个方程相加得到3x﹣3y＝m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．【解答】解：∵x、y的二元一次方程组为，①+②，得∴3x﹣3y＝m+6，∵x﹣y＝4，∴m+6＝12，∴m＝6．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到m的方程，此题难度不大．17．已知是方程组的解，求a、b的值．【分析】把代入方程即可得到一个关于a，b的方程组，解方程组即可求解．【解答】解：把代入方程得：，解方程得：．【点评】本题考查了方程组的解的定义，正确理解定义是关键．18．已知代数式ax2+bx+c，当x＝1和x＝﹣3时，它的值都为5，当x＝﹣1时，它的值为1，（1）求a，b，c的值；（2）当x＝﹣2时，求代数式ax2+bx+c的值．【分析】（1）根据已知条件，列出方程组来求解；（2）利用（1）的结果，再把x＝﹣2代入代数式ax2+bx+c求值．【解答】解：（1）∵代数式ax2+bx+c，当x＝1和x＝﹣3时，它的值都为5，当x＝﹣1时，它的值为1，∴，解得所以a，b，c的值分别是1、2、2；（2）由（1），得ax2+bx+c＝x2+2x+2①把x＝﹣2代入上式，得上式＝（﹣2）2﹣2×2+2＝2，所以当x＝﹣2时，代数式ax2+bx+c的值是2．【点评】解答本题的关键是根据题中的叙述，挖掘出隐藏在其中的已知条件：，然后根据该方程组的解来求代数式的值．19．请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b＝ax+by．例如：3◎2＝3x+2y．（1）如果x＝﹣5，2◎4＝﹣18，求y的值；（2）1◎1＝8，4◎2＝20，求x，y的值．【分析】（1）根据题意，得出方程组，解答即可；（2）根据题意，得出方程组，解答即可．【解答】解：（1）根据题意，得2x+4y＝﹣18，把x＝﹣5代入，得﹣10+4y＝﹣18，解得y＝﹣2；（2）根据题意，得，解得．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．20．已知方程组，将①×2﹣②能消去x，将②+①能消去y，求m，n的值．【分析】根据①×2﹣②能消去x得出2（m﹣n）﹣4＝0，根据②+①能消去y得出﹣3+3m+n＝0，则得出关于m、n的方程组，再求出方程组的解即可．【解答】解：，∵①×2﹣②能消去x，∴2（m﹣n）﹣4＝0，即m﹣n＝2，∵②+①能消去y，∴﹣3+3m+n＝0，即3m+n＝3，∴解方程组得：m＝，n＝﹣．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．21．某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人：现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送多少学生？（2）请你帮学校设计出所有的租车方案．【分析】（1）设1辆小客车一次可送学生x人，1辆大客车都坐满后一次可送y名学生，根据题意可得等量关系：①用3辆小客车拉的人数+1辆大客车拉的人数＝运送学生105人；②用1辆小客车拉的人数+2辆大客车拉的人数＝运送学生110人，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）设租小客车a辆，大客车b辆，由题意得：20×小客车的数量+45×大客车的数量＝400人，根据等量关系列出方程，求出非负整数解即可．【解答】解：（1）设1辆小客车一次可送学生x人，1辆大客车都坐满后一次可送y名学生，由题意得：，解得：，所以x+y＝65，答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．（2）设租小客车a辆，大客车b辆，由题意得20a+45b＝400，∴，∵每辆汽车恰好都坐满，∴a、b的值均为非负整数，∴a、b可取，，．∴租车方案有3种：方案一：小客车20辆，大客车0辆；方案二：小客车11辆，大客车4辆；方案三：小客车2辆，大客车8辆．【点评】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．22．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何．”译（文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两．”根据以上译文，提出以下两个问题：（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子；（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法．列出所有的可能．【分析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设商人可以购买m头牛，n只羊，利用总价＝单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据题意得：，解得：．答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；（2）设商人可以购买m头牛，n只羊，根据题意得：3m+2n＝19，∴m＝．∵m，n均为正整数，∴或或，∴商人共有3中购买方案，方案1：购买5头牛，2只羊；方案2：购买3头牛，5只羊；方案3：购买1头牛，8只羊．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、数学常识以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．23．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，∴方程组的解为．请你根据以上方法解决下列问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．【分析】（1）模仿小军的解法求出方程组的解即可；（2）利用“整体代换”的思想求出xy的值即可．【解答】解：（1），由②得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，把①代入③得：15+2y＝19，解得：y＝2，把y＝2代入①得：3x﹣4＝5，解得：x＝3，则方程组的解为；（2），由①得：2（2x2+xy）﹣4xy＝7③，把②代入③得：12﹣4xy＝7，解得：xy＝．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体思想及消元思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/10 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