初中数学第八章 二元一次方程组8.2 消元---解二元一次方程组优秀学案

二元一次方程组解法（二）---加减法（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；

2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；

3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．

【要点梳理】

要点一、加减消元法解二元一次方程组

    两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

 (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；

(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．

要点二、选择适当的方法解二元一次方程组

    解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．

【典型例题】

类型一、加减法解二元一次方程组

1. 直接加减：（2015•丹东模拟）若，则x+2y=　　．

【思路点拨】方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值，即可确定出x+2y的值．

【答案】5．

【解析】

解：，

①+②得：5x=5，即x=1，

将x=1代入①得：y=2，

则x+2y=1+4=5．

【总结升华】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

2.先变系数后加减：

【思路点拨】注意到方程组中x的系数成2倍关系，可将方程①的两边同乘2，使两个方程中x的系数相等，然后再相减消元．

【答案与解析】

解：②－①×2，得13y＝65．解得y＝5．

将y＝5代入①，得2x-5×5＝-21，解得x＝2．

所以原方程组的解为．

【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等．

举一反三：

【变式】（2015•河北模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y=a，求该方程组的解．

【答案】

解：，

②×2﹣①得，

y=a﹣，

把y=a﹣代入②得，

x=a﹣，

则a﹣﹣（a﹣）=a，

解得，a=5

方程组的解为：．

3.建立新方程组后巧加减：解方程组

【思路点拨】注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数，所以可将两个方程分别相加、相减，从而得到一个较简单的二元一次方程组．

【答案与解析】

解：①+②，得7x+7y＝7，整理得x+y＝1．  ③

②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5．  ④

解由③、④组成的方程组得原方程组的解为

【总结升华】解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解．

4.先化简再加减：解方程组

【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数，一般要先化成整数后再消元．

【答案与解析】

解：①×10，②×6，得

③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．

将y＝3代入③，解得x＝4．

所以原方程组的解为

【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时，通常是先通过变形(如去分母、去括号等)，将它化为形式简单的方程组，再消元求解．

类型二、用适当方法解二元一次方程组

5. （1）       （2）

【思路点拨】观察方程特点选择方法：（1）代入消元法；（2）先化简再加减或代入消元法．

【答案与解析】

解：（1）

由①得    ③

将③代入②得

解得：

将代入③得

∴原方程组的解为：．

（2）原方程组可化为：

①+②，得，即   ③

将③代入①得，代入③得  

∴原方程组的解为：．

【总结升华】方程组的解法不唯一，只是有的计算简便，有的繁琐．

【高清课堂：二元一次方程组的解法369939例5】

举一反三：

【变式】用两种方法解方程组

【答案】

解：法Ⅰ：由（1）：2y=9－x

将其整体代入（2）：3x－(9－x)=－1

解得x=2

∴2y=9－x=7

∴原方程组的解为：

法Ⅱ：（1）+（2）：4x=8，

                  x=2，

代入（1）：2+2y=9，

          2y=7，  ．

∴原方程组的解为：．