2023-2024学年广东省佛山二中高二（下）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山二中高二（下）第一次月考数学试卷(含解析），共13页。试卷主要包含了下列求函数的导数正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. 1xln2B. xln2C. 1xln2−sinπ3D. xln2−sinπ3
2.在数列{an}中，若a1=1，an+1=42−an，则a12=( )
A. −2B. −43C. 1D. 4
3.函数f(x)的导函数f′(x)，满足关系式f(x)=x2+2xf′(2)−lnx，则f′(2)的值为( )
A. 6B. −6C. 72D. −72
4.若函数y=f(x)在x=x0处的导数等于a，则Δx→0limf(x0+2Δx)−f(x0−2Δx)Δx的值为( )
A. aB. 2aC. 3aD. 4a
5.函数f(x)=2x+sinx在区间[0,π]上的( )
A. 最小值为0，最大值为π+1B. 最小值为0，最大值为2π
C. 最小值为π+1，最大值为2πD. 最小值为0，最大值为2
6.已知曲线y=a−xex存在过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是( )
A. [−4,0]B. (−∞,−4]∪[0,+∞)
C. (−4,0)D. (−∞,−4)∪(0,+∞)
7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则Sn+an+7n的最小值为( )
A. 172B. 192C. 10D. 11
8.若a=14ln14,b=23ln23,c=−1e，则( )
A. c9.下列求函数的导数正确的是( )
A. (lnxx)′=1−lnxx2B. ( 2x−1)′=1 2x−1
C. (e5x−4)′=5e5x−4D. [sin(2x+π3)]′=−2cs(2x+π3)
10.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)=xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有两个极小值
C. f(0)为函数的极小值
D. f(−1)为f(x)的极小值
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=2，an+1=4an−3an−1，则下面说法正确的是( )
A. 数列{an+1−an}为等差数列B. 数列{an+1−3an}为等比数列
C. an=3n−1+1D. Sn=3n−14+n2
12.在等比数列{an}中，a3=2，a7=18，则a3与a7的等比中项为______．
13.已知数列{an}，a1=1且(n+2)an+1=(n+1)an，则{an}的通项公式an= ______．
14.若函数f(x)=x3−12x+a的极大值为11，则f(x)的极小值为____．
15.已知函数f(x)=3x−x3．
(1)求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=32n2+12n(n∈N,n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.已知数列{an}的首项a1=a，且满足Sn+1−Sn=3an2an+1(n∈N*)．
(1)判断数列{1an−1}是否为等比数列；
(2)若a1=34，记数列{nan}的前n项和为Tn，求Tn．
18.已知数列{bn}的前n项和Sn，且Sn=2bn−2．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的通项公式an=n，若将数列{an}中的所有项按原顺序依次插入数列{bn}中，组成一个新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，a7，b4，⋯，bk与bk+1之间插入2k−1项{an}中的项，该新数列记作数列{cn}，求数列{cn}的前100项的和T100．
19.已知函数f(x)=ax+1ex,g(x)=xex．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若直线y=1与曲线y=f(x)相切，试判断函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点个数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵y=lg2x+csπ4，
∴y′=1xln2．
故选：A．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：∵a1=1，an+1=42−an，
∴a2=42−a1=4，a3=42−a2=−2，a4=42−a3=1=a1，
∴{an}是以3为周期的周期数列，
∴a12=a3×4=a3=−2．
故选：A．
根据递推公式计算出{an}的前几项即可发现{an}是周期数列，从而即可求出a12的值．
本题考查周期数列，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：f(x)=x2+2xf′(2)−lnx，
则f′(x)=2x+2f′(2)−1x，
当x=2时，f′(2)=2×2+2f′(2)−12，解得f′(2)=−72．
故选：D．
将函数f(x)求导，将x=2代入f′(x)，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于a，
则f′(x0)=a，
故Δx→0limf(x0+2Δx)−f(x0−2Δx)Δx=4f′(x0)=4a．
故选：D．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查极限及其运算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：f′(x)=2+csx>0，
所以f(x)在区间[0,π]上单调递增，
因此f(x)的最小值为f(0)=0，最大值为f(π)=2π．
故选：B．
先求得函数f(x)的导数，进而得到f(x)在区间[0,π]上单调性，即可求得f(x)在区间[0,π]上的最小值和最大值．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
设切点坐标，求得曲线y=a−xex过切点的切线方程，代入原点坐标，结合判别式法求实数a的取值范围．
【解答】
解：设切点坐标为(x0,y0)，
由y=a−xex，得y′=−ex−(a−x)exe2x=x−(a+1)ex，
∴过切点的切线方程为y−a−x0ex0=x0−(a+1)ex0(x−x0)，
又切线过坐标原点，∴x0−aex0=−x02+(a+1)x0ex0，
又曲线y=a−xex存在过坐标原点的切线，∴该方程有实根，
即x02−ax0−a=0有实数根，
∴Δ=a2+4a≥0，解得a∈(−∞,−4]∪[0,+∞)．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，可知an=2+3⋅(n−1)=3n−1，n∈N*，
故数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴Sn=2n+n(n−1)2⋅3=32n2+12n，
∴Sn+an+7n=32n2+12n+3n−1+7n
=32n2+72n+6n
=32n+6n+72
≥2 3n2⋅6n+72
=2×3+72
=192，
当且仅当32n=6n，即n=2时，等号成立，
∴当n=2时，Sn+an+7n取得最小值为192．
故选：B．
先根据题意推导出数列{an}的通项公式，并判断出数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，再计算出前n项和Sn的表达式，代入Sn+an+7n进行化简，然后根据均值不等式即可推导出Sn+an+7n的最小值．
本题主要考查等差数列的运用，以及数列与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，等差数列的定义及求和公式的运用，均值不等式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为c=−1e=1eln1e,a=14ln14=12ln12，
构造函数f(x)=xlnx，x∈(0,+∞)，则f′(x)=lnx+1，
令f′(x)>0，解得x>1e；令f′(x)<0，解得0所以f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，
又1e<12<23，所以c=f(1e)故选：C．
构造函数f(x)=xlnx，x∈(0,+∞)，利用导数判断f(x)单调性，结合单调性判断即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，考查了转化思想，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：(lnxx)′=(lnx)′x−(x)′lnxx2=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，故A正确；
对于B选项：( 2x−1)′=(2x−1)′2 2x−1=1 2x−1，故B正确；
对于C选项：利用复合函数的求导公式得(e5x−4)r=5e5x−4，故C正确；
对于D选项：利用复合函数的求导公式得：[sin(2x+π3)]′=2cs(2x+π3)，故D不正确．
故选：ABC．
分析函数的构成，利用基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导公式逐一判断即可．
本题主要考查了函数的求导公式及复合函数的求导法则的应用，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：由函数g(x)=xf′(x)的图象，
可得当x∈(−∞,−2)时，xf′(x)>0，
所以f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(−2,0)时，xf′(x)<0，
所以f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，
所以f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，xf′(x)>0，
所以f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上，当x=−2时，函数f(x)取得极小值；
当x=0时，函数f(x)取得极大值；
当x=1时，函数f(x)取得极小值，
故选项ABC错误，选项B正确．
故选：B．
根据题意，根据g(x)=xf′(x)的图象，分别讨论x的取值范围，得到函数f(x)的单调性，利用极值点定义对选项进行分析即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力．
11.【答案】BD
【解析】解：因为an+1=4an−3an−1，所以an+1−an=3(an−an−1)或an+1−3an=an−3an−1，
又a1=1，a2=2，所以a2−a1=1≠0，a2−3a1=−1≠0，
所以数列{an+1−an}为公比为3的等比数列，故A不正确；
数列{an+1−3an}为常数列，即为公比为1的等比数列，故B正确；
由{an+1−an}为等比数列可得：an+1−an=3n−1，且an+1−3an=−1，所以an=3n−1+12，故C不正确；
从而得Sn=a1+a2+⋯+an=30+12+3+12+⋯+3n−1+12=12(1+3+32+⋯+3n−1)+n2
=12×1−3n1−3+n2=3n−14+n2，故D正确．
故选：BD．
由已知递推关系式可得an+1−an=3(an−an−1)或an+1−3an=an−3an−1，从而得出数列{an+1−an}为等比数列，数列{an+1−3an}为常数列，从而可求出an，Sn，进而可分析判断得出结论．
本题考查等比数列、等差数列、分组求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
12.【答案】±6
【解析】解：在等比数列{an}中，a3=2，a7=18，
则a3与a7的等比中项为± 2×18=±6．
故答案为：±6．
由已知直接利用等比中项的定义求解．
本题考查等比中项的定义及求法，是基础题．
13.【答案】2n+1
【解析】解：∵a1=1且(n+2)an+1=(n+1)an，
∴an+1an=n+1n+2，即当n≥2时，anan−1=nn+1，an−1an−2=n−1n，…，a2a1=23，
由累乘法得ana1=nn+1⋅n−1n⋅...⋅23=2n+1，即an=2n+1，
又a1=1符合上式，
∴an=2n+1．
故答案为：2n+1．
由题意得an+1an=n+1n+2，即当n≥2时，anan−1=nn+1，an−1an−2=n−1n，…，a2a1=23，利用累乘法，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和累乘法求数列的通项公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14.【答案】−21
【解析】【分析】
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础题．利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键．
先对函数进行求导并研究单调性，可得函数的极大值，从而得到参数a的值，进而求得极小值．
【解答】
解：函数的定义域为R，f′(x)=3x2−12，
令f′(x)=0，解得x1=−2或x2=2，
列表：
∴当x=−2时，函数有极大值f(−2)=16+a，
由题意得：16+a=11，解得：a=−5，
当x=2时，函数有极小值f(2)=−16+a=−16−5=−21．
故答案为−21．
15.【答案】解：(1)因为f(x)=3x−x3，所以f′(x)=3−3x2，x∈R，
∵f(2)=3×2−23=−2，
∴切点为(2,−2)，
∵f′(2)=3−3×22=−9，
∴所求切线的斜率为−9，
∴所求切线的点斜式方程是y−(−2)=−9(x−2)，即y=−9x+16；
(2)因为f′(x)=3−3x2=3(1−x)(1+x)，
当f′(x)=0时，解得x=1或x=−1，
当f′(x)>0时，得−1当f′(x)<0时，得x<−1或x>1，
所以函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)和(1,+∞)，单调递增区间为(−1,1)．
【解析】(1)根据导数的几何意义结合条件即得；
(2)根据导数与函数的单调性的关系即得．
本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵n≥1且n∈N，有Sn=32n2+12n，
∴当n∈N，n≥2时，有Sn−1=32(n−1)2+12(n−1)，
两式相减得an=32n2+12n−[32(n−1)2+12(n−1)]=3n−1．
当n=1时，由Sn=32n2+12n⇒a1=2适合an=3n−1，
所以an=3n−1；
(2)由(1)知，bn=1anan+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，
所以Tn=13(12−15+15−18+...+13n−1−13n+2)=13(12−13n+2)=n6n+4．
【解析】(1)由数列的通项与前n项和的关系，化简可得所求；
(2)由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)1a1−1=1a−1=0，解得a=1，
则数列{1an−1}不是等比数列；
1a1−1=1a−1≠0，即a≠1，
Sn+1−Sn=3an2an+1，an+1=3an2an+1，
∴1an+1−11an−1(n∈N*)=2an+13an−11−anan=2an+1−3an3−3an=13，
所以，当a=1时，数列{1an−1}不是等比数列；
当a≠1时，数列{1an−1}是以1−aa为首项，13为公比的等比数列．
(2)由(1)知，1an−1=13×(13)n−1=(13)n，
1an=(13)n+1，
则nan=n(13)n+n．
则Tn=1×13+2×(13)2+⋯+n(13)n+1+2+⋯+n，
令Qn=1+2+⋯+n=n(n+1)2，
令Sn=1×13+2×(13)2+⋯+n(13)n①，
所以13Sn=1×(13)2+2×(13)3+⋯+(n−1)(13)n+n(13)n+1②，
①−②得：23Sn=13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n−n(13)n+1
=13⋅1−(13)n1−13−n(13)n+1=12−(12+n3)⋅(13)n，
得Sn=34−(2n+34)(13)n．
Tn=34−(2n+34)(13)n+(1+n)n2．
【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的定义，可得结论；
(2)由数列的分组求和与错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的分组求和与错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵Sn=2bn−2①，
∴Sn−1=2bn−1−2(n≥2)②，
①−②得，bn=2bn−2bn−1(n≥2)，
即bn=2bn−1(n≥2)，
又∵b1=2b1−2，∴b1=2，
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴bn=2n；
(2)∵bk与bk+1之间插入2k−1项{an}中的项，且20+21+22+…+25=63，20+21+22+…+25+26=127>100，
而b6与b7之间插入25项{an}中的项，
∴数列{cn}的前100项中有数列{bn}的前7项，
∴数列{cn}的前100项中有数列{an}的前93项，
∴数列{cn}的前100项的和T100=a1+a2+…+a93+b1+b2+…+b7=1+2+…+93+2+4+…+27=93×(1+93)2+2×(1−27)1−2=4625．
【解析】(1)由Sn=2bn−2可得Sn−1=2bn−1−2(n≥2)，两式相减可得bn=2bn−1(n≥2)，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可；
(2)由题意可知数列{cn}的前100项中有数列{bn}的前7项和数列{an}的前93项，再结合等差数列和等比数列的前n项和公式求解．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=ax+1ex的定义域为R，且f′(x)=a−1ex=aex−1ex，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减，
当a>0时，令f′(x)=0，解得x=−lna，
所以当x<−lna时，f′(x)<0，当x>−lna时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(−∞,−lna)，单调递增区间为(−lna,+∞)，
综上可得：当a≤0时f(x)在R上单调递减，
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,−lna)，单调递增区间为(−lna,+∞)；
(2)由f′(x)=a−1ex，设切点为(x0,f(x0))，
令f′(x0)=a−1ex0=0，易知a>0，
所以x0=−lna，又f(x0)=1，即ax0+1ex0=1，即a−alna−1=0，
设h(x)=x−xlnx−1，则h′(x)=−lnx，
所以当x∈(0,1)时，h(x)>0，则h(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)<0，则h(x)单调递减，
所以h(x)≤h(1)=0，所以a=1，则f(x)=x+1ex，
令f(x)=g(x)，则xex−x+1=0，
令m(x)=xex−x+1，则m′(x)=(x+1)ex−1，
令n(x)=m′(x)=(x+1)ex−1，则n′(x)=(x+2)ex，
所以当x∈(−∞,−2)时，n′(x)<0，则n(x)单调递减，
当x∈(−2,+∞)时，n′(x)>0，则n(x)单调递增，
又n(−2)=−e−2−1<0，n(0)=0，当x<−1时，n(x)<0，
所以当x∈(−∞,0)时，m′(x)<0，则m(x)单调递减，
当x∈(0,+∞)时，m′(x)>0，则m(x)单调递增，
所以m(x)≥m(0)=1，所以方程xex−x+1=0无实根，
所以函数y=f(x)与y=g(x)的图象无交点．
【解析】(1)求出导函数，再分a≤0，a>0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
(2)设切点为(x0,f(x0))，利用导数的几何意义求出a，即可得到f(x)解析式，再令f(x)=g(x)，即xex−x+1=0，令m(x)=xex−x+1，利用导数说明函数的零点，即可判断．
本题考查了导数的几何意义和导数与函数的单调性的关系，属于中档题．x
(−∞,−2)
−2
(−2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值16+a
↘
极小值−16+a
↗